Proceso de Wiener

El proceso de Wiener es el modelo matemático riguroso del movimiento browniano: un proceso continuo que comienza en cero, cuyos incrementos en intervalos disjuntos son independientes y se distribuyen normalmente con una varianza igual al tiempo transcurrido.

Definition

El proceso de Wiener es un proceso estocástico con trayectorias continuas que parten del origen, con incrementos independientes, y con el incremento sobre cualquier intervalo distribuido normalmente con media cero y varianza igual a la longitud del intervalo, proporcionando el modelo canónico del movimiento browniano.

Scope

Este tema cubre las propiedades definitorias del proceso de Wiener, su existencia y la construcción de Wiener, la continuidad pero no diferenciabilidad de sus trayectorias, su variación cuadrática igual al tiempo transcurrido, la propiedad de Markov fuerte y el principio de reflexión, las invarianzas de escalado e inversión temporal, y la ley del logaritmo iterado que describe sus fluctuaciones finas.

Core questions

• ¿Qué axiomas definen el proceso de Wiener y garantizan su existencia?
• ¿Por qué sus trayectorias son continuas pero no diferenciables en ningún punto?
• ¿Cuál es su variación cuadrática y por qué es igual al tiempo transcurrido?
• ¿Cómo describen su comportamiento el principio de reflexión y la propiedad de Markov fuerte?

Key theories

Propiedades de la trayectoria y variación cuadrática

Las trayectorias del proceso de Wiener son casi seguramente continuas pero no diferenciables en ningún punto y de variación total infinita, pero su variación cuadrática sobre cualquier intervalo es igual a la longitud del intervalo, propiedad que hace posible la integración estocástica.

Propiedad de Markov fuerte y principio de reflexión

El proceso se reinicia de nuevo en los tiempos de parada, y reflejar la trayectoria después de que alcanza por primera vez un nivel da la distribución del máximo en curso y de los tiempos de primer paso, una herramienta poderosa para los cálculos de tiempo de impacto.

Clinical relevance

El proceso de Wiener modela el movimiento térmico de partículas microscópicas, sirve como ruido impulsor en ecuaciones diferenciales estocásticas y en el modelo de Black-Scholes de precios de activos, aparece como el límite de escalado de caminatas aleatorias a través del principio de invariancia de Donsker, y subyace a los modelos de señal más ruido en ingeniería.

History

Bachelier modeló los precios de las acciones con el proceso en 1900 y Einstein dio su teoría física en 1905, pero fue Wiener quien en 1923 demostró que existe una medida de probabilidad con las propiedades requeridas en el espacio de funciones continuas, después de lo cual Levy y otros mapearon sus notables propiedades de trayectoria.

Key figures

• Norbert Wiener
• Albert Einstein
• Louis Bachelier
• Paul Levy

Seminal works

• morters2010

Frequently asked questions

¿Es el proceso de Wiener lo mismo que el movimiento browniano?

Sí; el proceso de Wiener es la definición matemáticamente rigurosa del movimiento browniano, nombrado en honor a Norbert Wiener, quien lo construyó por primera vez como una medida sobre trayectorias continuas.

¿Cómo puede una trayectoria ser continua pero no diferenciable en ningún punto?

La trayectoria nunca salta, por lo que es continua, sin embargo, oscila tan violentamente en cada escala que no existe una dirección tangente en ningún punto, razón por la cual su variación total es infinita.