Fórmula de Itō

La fórmula de Itō es la regla de la cadena del cálculo estocástico: cuando se aplica una función suave a un proceso de Itō, el diferencial no solo incluye los términos usuales de primer orden, sino también un término extra de segundo orden impulsado por la variación cuadrática.

Definition

La fórmula de Itō expresa el diferencial estocástico de una función suave de un proceso de Itō como la suma de los términos ordinarios de la regla de la cadena y un término adicional que involucra la segunda derivada y la variación cuadrática del proceso.

Scope

El tema abarca el enunciado de la fórmula de Itō para funciones del movimiento browniano y de procesos generales de Itō, la versión multidimensional con términos de variación cruzada, la fórmula para semimartingalas continuas y sus principales consecuencias, incluida la integración por partes, la derivación de la ecuación de Black-Scholes, la representación de Feynman-Kac y el teorema de cambio de medida de Girsanov.

Core questions

• ¿Por qué la regla de la cadena estocástica incluye un término de segundo orden ausente en el cálculo ordinario?
• ¿Cómo se extiende la fórmula de Itō a varios procesos y a semimartingalas generales?
• ¿Cómo conduce a las ecuaciones diferenciales parciales que rigen las difusiones?
• ¿Cómo se derivan de ella los resultados de cambio de medida, como el teorema de Girsanov?

Key concepts

• regla de la cadena estocástica
• corrección de variación cuadrática
• integración por partes
• fórmula de Feynman-Kac
• teorema de Girsanov

Key theories

Fórmula de Itō

Para una función dos veces diferenciable de un proceso de Itō, el diferencial es igual a la primera derivada multiplicada por el diferencial del proceso más la mitad de la segunda derivada multiplicada por la variación cuadrática, el término de corrección surge porque los incrementos brownianos al cuadrado se acumulan a una tasa definida.

Consecuencias de Feynman-Kac y Girsanov

La aplicación de la fórmula de Itō produce la representación de Feynman-Kac de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas como expectativas sobre difusiones y el teorema de Girsanov que describe cómo el movimiento browniano se transforma bajo un cambio equivalente de medida de probabilidad.

Clinical relevance

La fórmula de Itō es la herramienta computacional fundamental del modelado estocástico: produce la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes y las fórmulas de valoración de opciones en finanzas, deriva las ecuaciones de filtrado y control estocástico, y conecta los procesos de difusión con las ecuaciones diferenciales parciales de la física a través de la representación de Feynman-Kac.

History

Itō demostró su fórmula en la década de 1940 como la piedra angular del nuevo cálculo estocástico; las ideas anteriores de Kac sobre integrales de trayectoria se combinaron con ella para dar la fórmula de Feynman-Kac, y el teorema de cambio de medida de Girsanov de 1960, derivado a través del mismo cálculo, se volvió esencial para el filtrado y las finanzas.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Mark Kac
• Igor Girsanov

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

¿Por qué la fórmula de Itō tiene un término extra en comparación con la regla de la cadena ordinaria?

Debido a que los incrementos al cuadrado del movimiento browniano no desaparecen en el límite, sino que se acumulan proporcionalmente al tiempo, un término de Taylor de segundo orden sobrevive y contribuye con el término característico de la mitad de la segunda derivada.

¿Para qué se utiliza la fórmula de Itō en finanzas?

Al aplicarla al precio descontado de un derivado como función de un proceso subyacente de Itō, se obtiene la ecuación diferencial parcial de Black-Scholes, a partir de la cual se derivan los precios de las opciones y las estrategias de cobertura.