Brownsche Bewegung und Stochastische Analysis
Die Brownsche Bewegung ist ein kontinuierlicher Zufallsprozess, dessen Inkremente unabhängig und Gauß-verteilt sind; die darauf aufbauende stochastische Analysis liefert die Regeln für die Integration und Differentiation entlang ihrer unregelmäßigen Pfade.
Definition
Die Brownsche Bewegung ist ein kontinuierlicher Zeitprozess mit unabhängigen, stationären, Gauß-verteilten Inkrementen und kontinuierlichen, nirgends differenzierbaren Pfaden, und die stochastische Analysis ist die Theorie der Integration und Differentiation bezüglich solcher Prozesse, die sich auf das Itō-Integral und die Itō-Formel zur Variablentransformation konzentriert.
Scope
Dieser Bereich umfasst den Wiener-Prozess und seine Pfadeigenschaften, das stochastische Integral nach Itō und die Itō-Formel, stochastische Differentialgleichungen und Diffusionsprozesse, die Verbindung zu partiellen Differentialgleichungen durch Feynman-Kac und die Fokker-Planck-Gleichung, den Girsanov-Maßwechsel und die Erweiterung auf Lévy-Prozesse mit Sprüngen.
Sub-topics
Core questions
- Welche Eigenschaften kennzeichnen die Brownsche Bewegung und machen ihre Pfade so unregelmäßig?
- Wie wird die Integration gegen die Brownsche Bewegung trotz ihrer unendlichen Variation definiert?
- Was ist die Itō-Formel und wie ersetzt sie die gewöhnliche Kettenregel?
- Wie erweitern stochastische Differentialgleichungen und Lévy-Prozesse den Rahmen?
Key theories
- Itō-Integral und Itō-Formel
- Das Itō-Integral definiert die Integration gegen die Brownsche Bewegung, indem es die Martingaleigenschaft und die quadratische Variation, die der verstrichenen Zeit entspricht, nutzt, und die Itō-Formel liefert eine Regel zur Variablentransformation mit einem zusätzlichen Term der zweiten Ableitung, der diese Variation widerspiegelt.
- Diffusionen und die Verbindung zu partiellen Differentialgleichungen
- Lösungen stochastischer Differentialgleichungen sind Markov-Diffusionen, deren Übergangsdichten die Fokker-Planck- und die rückwärtige Kolmogorov-Gleichung lösen, und die Feynman-Kac-Formel stellt Lösungen parabolischer Gleichungen als Erwartungswerte über Diffusionspfade dar.
Clinical relevance
Brownsche Bewegung und stochastische Analysis modellieren die Diffusion von Partikeln und Wärme, die zufälligen Schwankungen von Vermögenspreisen in der Black-Scholes-Theorie der Optionspreisgestaltung, Rauschen in physikalischen und technischen Systemen sowie die Filterung verrauschter Signale, wodurch sie in Physik, Finanzwesen und Regelungstechnik unverzichtbar sind.
History
Brown beobachtete 1827 die unregelmäßige Bewegung von Pollenkörnern, Einstein und Smoluchowski lieferten um 1905 die physikalische Theorie dazu, Bachelier hatte sie bereits 1900 für das Finanzwesen genutzt, Wiener konstruierte sie 1923 rigoros, und Itō schuf in den 1940er Jahren die stochastische Analysis, die sie zu einem rechnerischen Werkzeug machte.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- Warum kann die gewöhnliche Analysis nicht für die Brownsche Bewegung verwendet werden?
- Brownsche Pfade haben eine unendliche Gesamtvariation und sind nirgends differenzierbar, sodass gewöhnliche Integrale und die klassische Kettenregel versagen; Itōs stochastische Analysis liefert Ersetzungen, die die quadratische Variation berücksichtigen.
- Was ist die Itō-Formel?
- Sie ist das stochastische Analogon der Kettenregel für Funktionen der Brownschen Bewegung oder von Diffusionen, das einen zusätzlichen Term mit der zweiten Ableitung enthält, der aus der nicht-nullen quadratischen Variation der Pfade resultiert.