Brownsche Bewegung

Die Brownsche Bewegung oder der Wiener-Prozess ist der stetige Zufallspfad, der als Skalierungsgrenze unzähliger kleiner unabhängiger Schritte entsteht; ihre Pfade sind überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

Definition

Die Brownsche Bewegung ist ein reellwertiger stochastischer Prozess, der bei Null beginnt, mit stetigen Stichprobenpfaden, deren Inkremente über disjunkten Intervallen unabhängig und normalverteilt sind mit einem Mittelwert von Null und einer Varianz, die der Länge des Intervalls entspricht.

Scope

Das Thema behandelt die definierenden Eigenschaften der Brownschen Bewegung als Prozess mit stetigen Pfaden, unabhängigen stationären Inkrementen und Gaußschen Verteilungen, ihre Existenz durch Wieners Konstruktion und Donskers Invarianzprinzip, die Pfadeigenschaften der Stetigkeit, Nirgends-Differenzierbarkeit und quadratischen Variation, die starke Markow-Eigenschaft und das Reflexionsprinzip, das Gesetz des iterierten Logarithmus und die Rolle der Brownschen Bewegung als kontinuierliches Martingal und Gaußscher Prozess.

Core questions

• Welche Eigenschaften charakterisieren die Brownsche Bewegung unter den stochastischen Prozessen eindeutig?
• Wie wird die Existenz eines Prozesses mit stetigen Brownschen Pfaden nachgewiesen?
• Welche bemerkenswerten analytischen Eigenschaften haben Brownsche Pfade?
• Wie liefert das Reflexionsprinzip die Verteilung des Maximums und der Treffzeiten?

Key concepts

• Wiener-Prozess
• unabhängige Gaußsche Inkremente
• nirgends differenzierbare Pfade
• quadratische Variation
• Reflexionsprinzip

Key theories

Donskers Invarianzprinzip

Geeignet reskalierte Zufallspfade konvergieren in der Verteilung zur Brownschen Bewegung im Raum der stetigen Pfade, dem funktionalen zentralen Grenzwertsatz, der die Universalität der Brownschen Bewegung als Grenze summierter kleiner unabhängiger Effekte erklärt.

Pfadeigenschaften und das Reflexionsprinzip

Brownsche Pfade sind fast sicher stetig, nirgends differenzierbar und haben eine quadratische Variation, die der verstrichenen Zeit entspricht, und das Reflexionsprinzip nutzt die starke Markow-Eigenschaft, um die Verteilungen des laufenden Maximums und der ersten Passagezeiten in geschlossener Form anzugeben.

Clinical relevance

Die Brownsche Bewegung modelliert die Diffusion von Partikeln in Physik und Chemie, die verrauschte Entwicklung von Vermögenspreisen in der Black-Scholes-Finanztheorie, thermisches und elektronisches Rauschen in der Ingenieurwissenschaft sowie die zufällige Ausbreitung von Schadstoffen oder Genen; sie ist auch der Baustein, aus dem allgemeinere Diffusionen und stochastische Integrale konstruiert werden.

History

Robert Brown beobachtete 1827 die erratische Bewegung von Pollenkörnern, und Einstein und Smoluchowski erklärten sie 1905 und 1906 physikalisch. Norbert Wiener lieferte 1923 die rigorose mathematische Konstruktion, und Levy und andere entwickelten die detaillierte Theorie ihrer Pfade.

Key figures

• Robert Brown
• Albert Einstein
• Norbert Wiener
• Paul Levy

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

Warum sind Brownsche Pfade stetig, aber nicht differenzierbar?

Über jedem kleinen Intervall ist das Inkrement von der Größenordnung der Quadratwurzel der Intervalllänge, was den Pfad stetig hält, aber die Differenzenquotienten explodieren lässt, sodass an keinem Punkt eine Ableitung existiert.

Wie hängt die Brownsche Bewegung mit dem Zufallspfad zusammen?

Die Brownsche Bewegung ist die Skalierungsgrenze eines Zufallspfades: Wenn ein einfacher Zufallspfad zeitlich beschleunigt und räumlich mit passenden Raten verkleinert wird, konvergiert seine Trajektorie zur Brownschen Bewegung, wie durch Donskers Invarianzprinzip präzisiert wird.