Ito-Kalkül und stochastische Integration

Das Ito-Kalkül erweitert Integration und Differenzierung auf Prozesse, die durch Brownsche Bewegung angetrieben werden, wobei die gewöhnliche Kettenregel durch die Ito-Formel ersetzt wird, die einen zusätzlichen Term aus der quadratischen Variation enthält.

Definition

Das Ito-Integral ist das stochastische Integral eines vorhersagbaren Prozesses gegen die Brownsche Bewegung, das so definiert ist, dass es ein Martingal mit einer Varianz ist, die durch die Ito-Isometrie gegeben ist, und die Ito-Formel ist die resultierende Substitutionsregel, die einen Term zweiter Ableitung hinzufügt, der die quadratische Variation des Integrators widerspiegelt.

Scope

Dieses Thema behandelt die Konstruktion des Ito-Integrals als Grenzwert von Riemann-Summen mit linker Intervallgrenze gegen die Brownsche Bewegung, die Ito-Isometrie, die Martingaleigenschaft des Integrals, die Ito-Formel für Funktionen von Diffusionen, die mehrdimensionalen und Produktregeln, den Vergleich mit dem Stratonovich-Integral und den Kalkül der quadratischen Variation, der die stochastische von der gewöhnlichen Integration unterscheidet.

Core questions

• Wie wird das Ito-Integral konstruiert und warum müssen linke Endpunkte verwendet werden?
• Was ist die Ito-Isometrie und wie steuert sie die Varianz des Integrals?
• Welcher zusätzliche Term unterscheidet die Ito-Formel von der gewöhnlichen Kettenregel?
• Wie unterscheidet sich das Ito-Integral vom Stratonovich-Integral?

Key theories

Ito-Integral und die Ito-Isometrie

Die Definition des Integrals mit Auswertungen am linken Endpunkt macht es zu einem Martingal, und die Ito-Isometrie setzt das erwartete Quadrat des Integrals mit dem erwarteten Integral des quadrierten Integranden gleich, was dem Integral seine L2-Struktur und Stabilität verleiht.

Ito-Formel

Für eine glatte Funktion einer Diffusion drückt die Ito-Formel das Differential als den üblichen Gradiententerm plus eine Korrektur aus, die die zweite Ableitung und die quadratische Variation beinhaltet, die Regel, die den stochastischen Kalkül berechenbar macht und die Black-Scholes-Gleichung liefert.

Clinical relevance

Das Ito-Kalkül ist die Arbeitssprache der mathematischen Finanzwirtschaft, wo die Ito-Formel die Black-Scholes-Partielle Differentialgleichung und Hedging-Strategien ableitet, sowie der stochastischen Kontrolle, Filterung und Physik, überall dort, wo Systeme als durch Gaußsches weißes Rauschen angetrieben modelliert werden.

History

Ito führte das stochastische Integral und seine Substitutionsformel in Arbeiten von 1944 und 1951 ein, um Diffusionsprozesse zu konstruieren. Stratonovich und Fisk schlugen später ein alternatives Integral vor, das der gewöhnlichen Kettenregel gehorcht, und die beiden Formulierungen wurden im Zuge der Reifung der Theorie durch die Arbeiten von McKean, Meyer und anderen in Einklang gebracht.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

Warum hat die Ito-Formel einen zusätzlichen Term?

Da die Brownsche Bewegung eine nicht-verschwindende quadratische Variation aufweist, verschwindet der Term zweiter Ordnung in einer Taylor-Entwicklung im Grenzwert nicht, wodurch eine Korrektur des halben Produkts der zweiten Ableitung hinzugefügt wird, die im gewöhnlichen Kalkül nicht vorhanden ist.

Was ist der Unterschied zwischen dem Ito- und dem Stratonovich-Integral?

Das Ito-Integral bewertet den Integranden am linken Endpunkt und ist ein Martingal, während das Stratonovich-Integral den Mittelpunkt verwendet und der gewöhnlichen Kettenregel gehorcht; sie unterscheiden sich durch einen Korrekturterm und eignen sich für unterschiedliche Anwendungen.