Wiener-Prozess

Der Wiener-Prozess ist das rigorose mathematische Modell der Brownschen Bewegung: ein kontinuierlicher Prozess, der bei Null beginnt und dessen Inkremente über disjunkte Intervalle unabhängig und normalverteilt sind, wobei die Varianz der verstrichenen Zeit entspricht.

Definition

Der Wiener-Prozess ist ein stochastischer Prozess mit kontinuierlichen Pfaden, der am Ursprung beginnt, unabhängige Inkremente aufweist und dessen Inkrement über jedes Intervall normalverteilt ist mit einem Mittelwert von Null und einer Varianz, die der Länge des Intervalls entspricht, wodurch er das kanonische Modell der Brownschen Bewegung darstellt.

Scope

Dieses Thema behandelt die definierenden Eigenschaften des Wiener-Prozesses, seine Existenz und Wieners Konstruktion, die Kontinuität und doch Nirgends-Differenzierbarkeit seiner Pfade, seine quadratische Variation, die der verstrichenen Zeit entspricht, die starke Markow-Eigenschaft und das Reflexionsprinzip, die Skalierungs- und Zeitinversions-Invarianzen sowie das Gesetz des iterierten Logarithmus, das seine feinen Fluktuationen beschreibt.

Core questions

• Welche Axiome definieren den Wiener-Prozess und garantieren seine Existenz?
• Warum sind seine Pfade kontinuierlich, aber nirgends differenzierbar?
• Was ist seine quadratische Variation und warum entspricht sie der verstrichenen Zeit?
• Wie beschreiben das Reflexionsprinzip und die starke Markow-Eigenschaft sein Verhalten?

Key theories

Pfadeigenschaften und quadratische Variation

Wiener-Prozess-Pfade sind fast sicher kontinuierlich und doch nirgends differenzierbar und von unendlicher totaler Variation, aber ihre quadratische Variation über jedes Intervall entspricht der Länge des Intervalls, eine Eigenschaft, die die stochastische Integration ermöglicht.

Starke Markow-Eigenschaft und Reflexionsprinzip

Der Prozess beginnt zu Stoppzeiten von Neuem, und die Spiegelung des Pfades, nachdem er zum ersten Mal ein Niveau erreicht hat, liefert die Verteilung des laufenden Maximums und der ersten Überschreitungszeiten, ein mächtiges Werkzeug für die Berechnung von Trefferzeiten.

Clinical relevance

Der Wiener-Prozess modelliert die thermische Bewegung mikroskopischer Partikel, dient als treibendes Rauschen in stochastischen Differentialgleichungen und im Black-Scholes-Modell für Vermögenspreise, tritt als Skalierungsgrenze von Zufallswegen durch Donskers Invarianzprinzip auf und liegt Signal-plus-Rausch-Modellen in der Ingenieurwissenschaft zugrunde.

History

Bachelier modellierte im Jahr 1900 Aktienkurse mit diesem Prozess, und Einstein lieferte 1905 seine physikalische Theorie. Es war jedoch Wiener, der 1923 bewies, dass ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit den erforderlichen Eigenschaften auf dem Raum der kontinuierlichen Funktionen existiert, woraufhin Levy und andere seine bemerkenswerten Pfadeigenschaften kartierten.

Key figures

• Norbert Wiener
• Albert Einstein
• Louis Bachelier
• Paul Levy

Seminal works

• morters2010

Frequently asked questions

Ist der Wiener-Prozess dasselbe wie die Brownsche Bewegung?

Ja; der Wiener-Prozess ist die mathematisch rigorose Definition der Brownschen Bewegung, benannt nach Norbert Wiener, der sie erstmals als Maß auf kontinuierlichen Pfaden konstruierte.

Wie kann ein Pfad kontinuierlich, aber nirgends differenzierbar sein?

Der Pfad springt nie, ist also kontinuierlich, doch er oszilliert auf jeder Skala so heftig, dass an keinem Punkt eine Tangentenrichtung existiert, weshalb seine totale Variation unendlich ist.