Lévy-Prozesse

Ein Lévy-Prozess weist stationäre unabhängige Inkremente und stochastisch stetige Pfade auf, die die Brownsche Bewegung, den Poisson-Prozess und deren Kombinationen zu einer einzigen Familie mit Sprüngen vereinen.

Definition

Ein Lévy-Prozess ist ein stochastischer Prozess, der bei Null beginnt, stationäre und unabhängige Inkremente aufweist und stochastisch stetig ist, sodass sein Inkrement über jedes Intervall eine unendlich teilbare Verteilung besitzt und sein charakteristischer Exponent durch die Lévy-Khintchine-Formel gegeben ist.

Scope

Dieses Thema behandelt die Definition von Lévy-Prozessen durch stationäre unabhängige Inkremente, ihre Entsprechung zu unendlich teilbaren Verteilungen, die Lévy-Khintchine-Formel, die den Prozess in Drift-, Gauß- und Sprunganteile zerlegt, die Lévy-Ito-Zerlegung von Stichprobenpfaden, Subordinatoren und stabile Prozesse sowie stochastische Analysis und Anwendungen für Prozesse mit Sprüngen.

Core questions

• Was definiert einen Lévy-Prozess und verbindet ihn mit unendlich teilbaren Verteilungen?
• Wie kodiert die Lévy-Khintchine-Formel Drift, Diffusion und Sprünge?
• Wie beschreibt die Lévy-Ito-Zerlegung die Stichprobenpfade?
• Welche speziellen Lévy-Prozesse wie Subordinatoren und stabile Prozesse treten auf?

Key theories

Lévy-Khintchine-Formel

Die charakteristische Funktion eines Lévy-Prozesses zu jedem Zeitpunkt ist das Exponential eines charakteristischen Exponenten, der eine lineare Drift, eine Gaußsche Varianz und ein Integral gegen ein Lévy-Maß umfasst, das die Sprünge regelt, und somit eine vollständige Beschreibung des Gesetzes liefert.

Lévy-Ito-Zerlegung

Jeder Lévy-Prozess zerfällt in eine deterministische Drift, eine unabhängige Brownsche Bewegung und einen unabhängigen reinen Sprunganteil, der aus einem Poissonschen Zufallsmaß von Sprüngen aufgebaut ist, wodurch die kontinuierlichen und diskontinuierlichen Komponenten seiner Pfade getrennt werden.

Clinical relevance

Lévy-Prozesse modellieren Vermögensrenditen mit plötzlichen Sprüngen, Versicherungsrisikoreserven, anomale Diffusion in der Physik und Warteschlangeneingaben mit Bursts, wodurch realistischere Alternativen zu rein Gaußschen Modellen bereitgestellt werden, wo immer seltene große Bewegungen von Bedeutung sind.

History

De Finetti führte in den 1920er Jahren unendlich teilbare Verteilungen ein, Lévy und Khinchin leiteten um 1934 die Darstellung des charakteristischen Exponenten ab, und Itos Zerlegung der Pfade in kontinuierliche und Sprunganteile vervollständigte die strukturelle Theorie, die ihre Namen trägt, mit neuem Interesse aus der mathematischen Finanzwelt seit den 1990er Jahren.

Key figures

• Paul Levy
• Aleksandr Khinchin
• Kiyosi Ito
• Bruno de Finetti

Seminal works

• bertoin1996
• sato1999

Frequently asked questions

Was vereint die Brownsche Bewegung und den Poisson-Prozess?

Beide sind Lévy-Prozesse und weisen stationäre unabhängige Inkremente auf; die Brownsche Bewegung ist der kontinuierliche Gaußsche Fall und der Poisson-Prozess ist ein reiner Sprungfall, und allgemeine Lévy-Prozesse kombinieren Drift, Diffusion und Sprünge.

Was ist das Lévy-Maß?

Es ist das Maß in der Lévy-Khintchine-Formel, das die Rate und die Größen der Sprünge des Prozesses spezifiziert und steuert, wie oft Sprünge jeder Größenordnung auftreten.