Ito-Formel
Die Ito-Formel ist die Kettenregel der Stochastischen Analysis: Wenn eine glatte Funktion auf einen Ito-Prozess angewendet wird, enthält das Differential nicht nur die üblichen Terme erster Ordnung, sondern auch einen zusätzlichen Term zweiter Ordnung, der durch die quadratische Variation bestimmt wird.
Definition
Die Ito-Formel drückt das stochastische Differential einer glatten Funktion eines Ito-Prozesses als Summe der gewöhnlichen Kettenregel-Terme und eines zusätzlichen Terms aus, der die zweite Ableitung und die quadratische Variation des Prozesses beinhaltet.
Scope
Das Thema umfasst die Formulierung der Ito-Formel für Funktionen der Brownschen Bewegung und allgemeiner Ito-Prozesse, die mehrdimensionale Version mit Kreuzvariationstermen, die Formel für kontinuierliche Semimartingale und ihre wichtigsten Konsequenzen, einschließlich der partiellen Integration, der Herleitung der Black-Scholes-Gleichung, der Feynman-Kac-Darstellung und des Girsanov-Maßwechseltheorems.
Core questions
- Warum enthält die stochastische Kettenregel einen Term zweiter Ordnung, der in der gewöhnlichen Analysis nicht vorhanden ist?
- Wie erweitert sich die Ito-Formel auf mehrere Prozesse und auf allgemeine Semimartingale?
- Wie führt sie zu den partiellen Differentialgleichungen, die Diffusionen regeln?
- Wie ergeben sich daraus Maßwechsel-Ergebnisse wie der Satz von Girsanov?
Key concepts
- stochastische Kettenregel
- Korrektur der quadratischen Variation
- partielle Integration
- Feynman-Kac-Formel
- Girsanov-Theorem
Key theories
- Ito-Formel
- Für eine zweimal differenzierbare Funktion eines Ito-Prozesses ist das Differential gleich der ersten Ableitung multipliziert mit dem Prozessdifferential plus der Hälfte der zweiten Ableitung multipliziert mit der quadratischen Variation, wobei der Korrekturterm entsteht, weil quadrierte Brownsche Inkremente mit einer bestimmten Rate akkumulieren.
- Feynman-Kac- und Girsanov-Konsequenzen
- Die Anwendung der Ito-Formel liefert die Feynman-Kac-Darstellung von Lösungen parabolischer partieller Differentialgleichungen als Erwartungswerte über Diffusionen und Girsanovs Theorem, das beschreibt, wie sich die Brownsche Bewegung unter einem äquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaßwechsel transformiert.
Clinical relevance
Die Ito-Formel ist das rechnerische Arbeitspferd der stochastischen Modellierung: Sie liefert die Black-Scholes-Partielle-Differentialgleichung und Optionspreisformeln im Finanzwesen, leitet die Gleichungen der stochastischen Filterung und Steuerung ab und verbindet Diffusionsprozesse über die Feynman-Kac-Darstellung mit den partiellen Differentialgleichungen der Physik.
History
Ito bewies seine Formel in den 1940er Jahren als Eckpfeiler der neuen Stochastischen Analysis; Kac's frühere Pfadintegral-Ideen kombinierten sich damit zur Feynman-Kac-Formel, und Girsanovs Maßwechseltheorem von 1960, das durch dieselbe Analysis abgeleitet wurde, wurde für die Filterung und das Finanzwesen unerlässlich.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Mark Kac
- Igor Girsanov
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- Warum hat die Ito-Formel einen zusätzlichen Term im Vergleich zur gewöhnlichen Kettenregel?
- Weil die quadrierten Inkremente der Brownschen Bewegung im Grenzwert nicht verschwinden, sondern proportional zur Zeit akkumulieren, überlebt ein Taylor-Term zweiter Ordnung und trägt den charakteristischen Term mit der halben zweiten Ableitung bei.
- Wofür wird die Ito-Formel im Finanzwesen verwendet?
- Ihre Anwendung auf den diskontierten Preis eines Derivats als Funktion eines zugrunde liegenden Ito-Prozesses führt zur Black-Scholes-Partiellen-Differentialgleichung, aus der Optionspreise und Absicherungsstrategien abgeleitet werden.