มาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่อง

มาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่องคือลำดับของตัวแปรสุ่ม ซึ่งจัดทำดัชนีตามเวลาและเชื่อมโยงกับการไหลของข้อมูลที่เพิ่มขึ้น โดยที่การพยากรณ์ค่าถัดไปที่ดีที่สุดเมื่อพิจารณาจากอดีตคือค่าปัจจุบันเสมอ

Definition

มาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่องคือลำดับของตัวแปรสุ่มที่สามารถหาปริพันธ์ได้ (integrable sequence of random variables) ซึ่งปรับตัวเข้ากับการกรอง (filtration) โดยที่ความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขของแต่ละพจน์เมื่อพิจารณาจากข้อมูลก่อนหน้าจะเท่ากับพจน์ที่อยู่ก่อนหน้าทันที

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการกรอง (filtrations) และกระบวนการที่ปรับตัว (adapted) และคาดการณ์ได้ (predictable processes) คำจำกัดความของมาร์ติงเกล (martingale) ซับมาร์ติงเกล (submartingale) และซูเปอร์มาร์ติงเกล (supermartingale) คุณสมบัติความคาดหวังแบบมีเงื่อนไขและผลที่ตามมา การแยกส่วนของดูบ (Doob decomposition) ของซับมาร์ติงเกลออกเป็นมาร์ติงเกลและส่วนที่คาดการณ์ได้ที่เพิ่มขึ้น การแปลงมาร์ติงเกลที่แสดงถึงผลกำไรของกลยุทธ์การเดิมพัน และตัวอย่างมาตรฐาน เช่น ผลรวมของตัวแปรอิสระที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์ และกระบวนการอัตราส่วนความน่าจะเป็น (likelihood-ratio processes)

Core questions

• โครงสร้างข้อมูลแบบใดที่การกรองเข้ารหัส และการที่กระบวนการหนึ่งปรับตัวได้หมายความว่าอย่างไร?
• มาร์ติงเกล ซับมาร์ติงเกล และซูเปอร์มาร์ติงเกลแตกต่างกันอย่างไร?
• การแยกส่วนของดูบแยกกระบวนการออกเป็นส่วนที่เป็นเกมที่เป็นธรรมและแนวโน้มได้อย่างไร?
• เหตุใดกลยุทธ์การเดิมพันที่คาดการณ์ได้จึงไม่สามารถเปลี่ยนมาร์ติงเกลให้เป็นเกมที่ชนะได้?

Key concepts

• การกรอง (filtration)
• กระบวนการที่ปรับตัวได้และคาดการณ์ได้ (adapted and predictable processes)
• ซับมาร์ติงเกลและซูเปอร์มาร์ติงเกล (submartingale and supermartingale)
• การแยกส่วนของดูบ (Doob decomposition)
• การแปลงมาร์ติงเกล (martingale transform)

Key theories

การแยกส่วนของดูบ (Doob decomposition)

กระบวนการที่ปรับตัวได้และสามารถหาปริพันธ์ได้ใดๆ สามารถแยกออกได้อย่างเป็นเอกลักษณ์เป็นมาร์ติงเกลบวกกับกระบวนการที่คาดการณ์ได้ที่เริ่มต้นที่ศูนย์ และกระบวนการนั้นจะเป็นซับมาร์ติงเกลก็ต่อเมื่อส่วนที่คาดการณ์ได้นี้เพิ่มขึ้น ซึ่งเป็นการแยกแนวโน้มที่เป็นระบบออกจากความผันผวนของเกมที่เป็นธรรม

การแปลงมาร์ติงเกลและความเป็นธรรมของเกมที่เป็นธรรม

ผลกำไรสะสมจากกลยุทธ์การเดิมพันที่คาดการณ์ได้ซึ่งนำไปใช้กับมาร์ติงเกลจะก่อให้เกิดมาร์ติงเกลอีกตัว ดังนั้น ไม่มีกลยุทธ์ใดที่ใช้ข้อมูลในอดีตเท่านั้นที่จะสามารถสร้างผลกำไรที่คาดหวังเป็นบวกได้ ซึ่งเป็นคำกล่าวที่แม่นยำว่าเกมที่เป็นธรรมไม่สามารถเอาชนะได้

Clinical relevance

มาร์ติงเกลแบบเวลาไม่ต่อเนื่องทำให้ข้อมูลเชิงลำดับและการเดิมพันที่เป็นธรรมเป็นทางการ ซึ่งเป็นพื้นฐานของการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นเชิงลำดับในสถิติ เงื่อนไขการไม่มีการเก็งกำไร (no-arbitrage condition) ในแบบจำลองทางการเงินแบบไม่ต่อเนื่อง และการสร้างลำดับผลต่างมาร์ติงเกล (martingale difference sequences) ที่ใช้ในการพิสูจน์อสมการความเข้มข้น (concentration inequalities) และทฤษฎีบทลิมิตสำหรับข้อมูลที่ขึ้นต่อกัน

History

วิลล์ (Ville) ได้นำเสนอแนวคิดมาร์ติงเกลเพื่อหักล้างการมีอยู่ของระบบการพนันที่ประสบความสำเร็จ และดูบ (Doob) ได้สร้างทฤษฎีแบบเวลาไม่ต่อเนื่องด้วยการแยกส่วนที่ตั้งชื่อตามเขา ทำให้มาร์ติงเกลเป็นเครื่องมือมาตรฐานซึ่งการนำเสนอในตำราของวิลเลียมส์ (Williams) กลายเป็นแบบอย่างของการอธิบาย

Key figures

• Joseph L. Doob
• Jean Ville
• Jacques Neveu

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

การกรอง (filtration) คืออะไร?

การกรองคือกลุ่มของซิกมา-พีชคณิต (sigma-algebras) ที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ โดยมีหนึ่งชุดสำหรับแต่ละช่วงเวลา ซึ่งแสดงถึงข้อมูลที่มีอยู่จนถึงเวลานั้น; กระบวนการจะปรับตัวเข้ากับการกรองเมื่อแต่ละค่าเป็นที่ทราบเมื่อพิจารณาจากข้อมูล ณ เวลาของมันเอง

อะไรคือสิ่งที่แยกความแตกต่างระหว่างซับมาร์ติงเกลกับซูเปอร์มาร์ติงเกล?

ซับมาร์ติงเกลมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้นในค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไข เนื่องจากค่าที่คาดหวังถัดไปเมื่อพิจารณาจากอดีตมีค่าอย่างน้อยเท่ากับค่าปัจจุบัน ในขณะที่ซูเปอร์มาร์ติงเกลมีแนวโน้มที่จะลดลง; มาร์ติงเกลเป็นกรณีขอบเขตที่ค่าเฉลี่ยแบบมีเงื่อนไขไม่เปลี่ยนแปลง