ความเป็นอิสระและบทตั้งบอเรล-คันเตลลี

ความเป็นอิสระเป็นแนวคิดที่ทำให้เป็นทางการว่าการรู้เหตุการณ์บางอย่างไม่ได้บอกอะไรเกี่ยวกับเหตุการณ์อื่น ๆ และบทตั้งบอเรล-คันเตลลีเปลี่ยนความสามารถในการรวมกันของความน่าจะเป็นให้เป็นข้อความที่แน่นอนเกือบแน่นอนเกี่ยวกับความถี่ของการเกิดลำดับของเหตุการณ์

Definition

เหตุการณ์ต่างๆ เป็นอิสระเมื่อความน่าจะเป็นของการเกิดร่วมกันสามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ และบทตั้งบอเรล-คันเตลลีเชื่อมโยงการลู่เข้าหรือการลู่ออกของผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์กับว่ามีเหตุการณ์เกิดขึ้นไม่จำกัดจำนวนครั้งเกือบแน่นอนหรือไม่

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมความเป็นอิสระของเหตุการณ์, ซิกมา-พีชคณิต, และตัวแปรสุ่ม, บทตั้งการจัดกลุ่มและการประมาณที่สนับสนุนแนวคิดนี้, บทตั้งบอเรล-คันเตลลีบทที่หนึ่งและสอง, กฎศูนย์-หนึ่งของโคลโมโกรอฟสำหรับเหตุการณ์ส่วนท้าย, และการประยุกต์ใช้กับการลู่เข้าเกือบแน่นอนและการเกิดซ้ำของเหตุการณ์ที่หายาก

Core questions

• ความเป็นอิสระหมายถึงอะไรสำหรับเหตุการณ์, สำหรับซิกมา-พีชคณิต, และสำหรับตัวแปรสุ่ม และแนวคิดเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างไร?
• ลำดับของเหตุการณ์จะเกิดขึ้นเพียงไม่กี่ครั้งเมื่อใด และจะเกิดขึ้นซ้ำไม่จำกัดจำนวนครั้งเมื่อใด?
• เหตุใดบทกลับของบทตั้งบอเรล-คันเตลลีจึงต้องสมมติความเป็นอิสระ?
• เหตุใดเหตุการณ์ส่วนท้ายของลำดับอิสระจึงมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หรือหนึ่ง?

Key concepts

• ความเป็นอิสระของเหตุการณ์
• ความเป็นอิสระของซิกมา-พีชคณิต
• ซิกมา-พีชคณิตส่วนท้าย
• เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่จำกัดจำนวนครั้ง
• การเกิดซ้ำเกือบแน่นอน

Key theories

บทตั้งบอเรล-คันเตลลีบทที่หนึ่ง

หากความน่าจะเป็นของลำดับเหตุการณ์มีผลรวมจำกัดแล้ว ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้นเพียงไม่กี่ครั้งเท่านั้น ไม่จำเป็นต้องมีความเป็นอิสระ และผลลัพธ์นี้เป็นพื้นฐานของการอ้างเหตุผลการลู่เข้าเกือบแน่นอนหลายประการ

บทตั้งบอเรล-คันเตลลีบทที่สอง

หากเหตุการณ์เป็นอิสระและผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ลู่ออกแล้ว ด้วยความน่าจะเป็นหนึ่ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้นไม่จำกัดจำนวนครั้ง ซึ่งเป็นบทกลับที่ชัดเจนของบทตั้งแรกภายใต้ความเป็นอิสระ

กฎศูนย์-หนึ่งของโคลโมโกรอฟ

เหตุการณ์ใดๆ ในซิกมา-พีชคณิตส่วนท้ายของลำดับตัวแปรสุ่มอิสระมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หรือหนึ่ง ดังนั้นคุณสมบัติเชิงเส้นกำกับ เช่น การลู่เข้าของอนุกรมของพจน์อิสระจึงเป็นเชิงกำหนดในค่าความจริงของมัน

Clinical relevance

ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นกลไกสำคัญเบื้องหลังกฎจำนวนมากที่แข็งแกร่งและการวิเคราะห์บันทึก, การวิ่ง, และเหตุการณ์ที่หายาก; ในการวิเคราะห์ความน่าเชื่อถือและความเสี่ยง พวกมันกำหนดว่าอันตรายที่เกิดขึ้นซ้ำๆ จะเกิดขึ้นไม่จำกัดจำนวนครั้งหรือไม่ และในทฤษฎีจำนวนและทฤษฎีเออร์กอดิก กฎศูนย์-หนึ่งอธิบายว่าทำไมคุณสมบัติจำกัดจำนวนมากจึงเป็นจริงเสมอหรือไม่มีทางเป็นจริงเลย

History

บอเรลพิสูจน์ส่วนของการลู่เข้าในปี 1909 ในการศึกษาจำนวนปกติของเขา และคันเตลลีให้บทกลับของความเป็นอิสระในปี 1917 ต่อมาโคลโมโกรอฟได้รวมทั้งสองไว้ในกฎศูนย์-หนึ่งของเขาสำหรับเหตุการณ์ส่วนท้าย ทำให้พวกมันเป็นเครื่องมือสำคัญของทฤษฎีการวัด

Key figures

• Emile Borel
• Francesco Paolo Cantelli
• Andrey Kolmogorov

Seminal works

• durrett2019

Frequently asked questions

เหตุใดบทตั้งบอเรล-คันเตลลีบทที่สองจึงต้องการความเป็นอิสระ แต่บทแรกไม่ต้องการ?

หากไม่มีความเป็นอิสระ ความน่าจะเป็นที่ลู่ออกยังคงสามารถอธิบายเหตุการณ์ที่ทับซ้อนกันอย่างมากจนมีเพียงไม่กี่เหตุการณ์ที่แตกต่างกันเท่านั้นที่เกิดขึ้น; ความเป็นอิสระจะขจัดความร่วมมือนี้และบังคับให้เกิดเหตุการณ์ไม่จำกัดจำนวนครั้ง

เหตุการณ์ส่วนท้ายคืออะไร?

เหตุการณ์ส่วนท้ายคือเหตุการณ์ที่การเกิดขึ้นของมันไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนจำกัดของตัวแปรสุ่มพื้นฐาน เช่น การลู่เข้าของอนุกรมอนันต์; กฎของโคลโมโกรอฟกล่าวว่าเหตุการณ์ดังกล่าวมีความน่าจะเป็นเป็นศูนย์หรือหนึ่งเมื่อตัวแปรเป็นอิสระ