ตัวแปรสุ่มและฟังก์ชันการแจกแจง
ตัวแปรสุ่มคือการแมปที่วัดได้จากปริภูมิความน่าจะเป็นไปยังเส้นจำนวนจริง และฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่ม ซึ่งคือความน่าจะเป็นที่ตัวแปรนั้นจะไม่เกินระดับที่กำหนด เป็นวิธีสากลในการอธิบายว่าค่าของตัวแปรมีการกระจายตัวอย่างไร
Definition
ตัวแปรสุ่มคือฟังก์ชันที่วัดได้จากปริภูมิความน่าจะเป็นไปยังจำนวนจริง และฟังก์ชันการแจกแจงของตัวแปรสุ่มจะแมปจำนวนจริงแต่ละจำนวนไปยังความน่าจะเป็นที่ตัวแปรนั้นจะมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับจำนวนนั้น
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมความสามารถในการวัดได้ของตัวแปรสุ่มค่าจริงและค่าเวกเตอร์ ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมและคุณสมบัติที่กำหนดของฟังก์ชัน ได้แก่ ความเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ความต่อเนื่องทางขวา และลิมิต ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงและการวัดความน่าจะเป็นบนเส้นจำนวน ความหนาแน่นและการแยกส่วนแบบเลอเบกออกเป็นส่วนไม่ต่อเนื่อง ส่วนต่อเนื่องสัมบูรณ์ และส่วนเอกฐาน และการแจกแจงร่วมของเวกเตอร์สุ่มกับส่วนขอบของมัน
Core questions
- การที่ฟังก์ชันบนปริภูมิผลลัพธ์เป็นตัวแปรสุ่มหมายความว่าอย่างไร?
- คุณสมบัติใดบ้างที่บ่งบอกถึงฟังก์ชันการแจกแจงสะสม และฟังก์ชันนี้กำหนดการแจกแจงได้อย่างไร?
- การแจกแจงจะมีฟังก์ชันความหนาแน่นเมื่อใด และมีทางเลือกอื่นใดบ้าง?
- การแจกแจงร่วมและการแจกแจงขอบของตัวแปรสุ่มหลายตัวมีความสัมพันธ์กันอย่างไร?
Key concepts
- ฟังก์ชันที่วัดได้
- ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม
- ความหนาแน่นความน่าจะเป็น
- การแยกส่วนแบบเลอเบก
- การแจกแจงร่วมและการแจกแจงขอบ
Key theories
- ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันการแจกแจง
- การวัดความน่าจะเป็นทุกรูปแบบบนเส้นจำนวนจริงจะสอดคล้องกับฟังก์ชันการแจกแจงที่ไม่ลดลงและต่อเนื่องทางขวาที่มีลิมิตเป็นศูนย์และหนึ่งเพียงหนึ่งเดียว และในทางกลับกัน ซึ่งให้คำอธิบายที่สมบูรณ์และเป็นรูปธรรมของการแจกแจงแบบหนึ่งมิติ
- การแยกส่วนแบบเลอเบกของการแจกแจง
- การแจกแจงใดๆ บนเส้นจำนวนจะแยกออกเป็นส่วนที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งรองรับบนอะตอม ส่วนที่ต่อเนื่องสัมบูรณ์ซึ่งมีฟังก์ชันความหนาแน่น และส่วนที่ต่อเนื่องเอกฐาน ซึ่งจะช่วยชี้แจงว่าฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นมีอยู่เมื่อใดและไม่มีเมื่อใด
Clinical relevance
ฟังก์ชันการแจกแจงคือสิ่งที่ข้อมูลเชิงประจักษ์ประมาณค่าและสิ่งที่แบบจำลองทางสถิติกำหนดขึ้น ฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์เป็นพื้นฐานของการทดสอบความเหมาะสมของแบบจำลองและการบูตสแตรป ควอนไทล์ที่ได้จากฟังก์ชันการแจกแจงกำหนดค่าความเสี่ยงและช่วงอ้างอิง และความหนาแน่นคือวัตถุที่ใช้ในการอนุมานส่วนใหญ่ที่อิงตามความน่าจะเป็นสูงสุด
History
การตระหนักว่าตัวแปรสุ่มเป็นเพียงฟังก์ชันที่วัดได้ และพฤติกรรมของมันถูกอธิบายด้วยฟังก์ชันการแจกแจง เกิดขึ้นพร้อมกับการกำหนดความน่าจะเป็นใหม่ในเชิงทฤษฎีการวัดในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ซึ่งเข้ามาแทนที่การพิจารณาการแจกแจงเฉพาะกรณีแบบเดิม
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Henri Lebesgue
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- ตัวแปรสุ่มทุกตัวมีฟังก์ชันความหนาแน่นหรือไม่?
- ไม่ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงต่อเนื่องสัมบูรณ์เท่านั้นที่มีฟังก์ชันความหนาแน่น ตัวแปรไม่ต่อเนื่องจะวางมวลไว้ที่จุดแต่ละจุด และการแจกแจงต่อเนื่องเอกฐานที่หายากกว่านั้นไม่มีฟังก์ชันความหนาแน่นแม้ว่าจะไม่มีอะตอมก็ตาม
- เหตุใดฟังก์ชันการแจกแจงจึงถูกกำหนดด้วยเครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับ แทนที่จะเป็นน้อยกว่าอย่างเคร่งครัด?
- ธรรมเนียมการใช้เครื่องหมายน้อยกว่าหรือเท่ากับทำให้ฟังก์ชันการแจกแจงมีความต่อเนื่องทางขวา ซึ่งเป็นทางเลือกที่เป็นธรรมชาติที่ทำให้ฟังก์ชันนี้มีความสอดคล้องอย่างชัดเจนกับการวัดความน่าจะเป็นพื้นฐานและอะตอมของมัน