ระบบแฮมิลตัน (เชิงการแปรผัน)

การกำหนดสูตรแบบแฮมิลตันเป็นการแปลงปัญหาเชิงการแปรผันผ่านการแปลงเลอจองด์ (Legendre transform) ให้เป็นระบบบัญญัติอันดับหนึ่ง (first-order canonical system) ซึ่งเผยให้เห็นปริมาณที่ถูกอนุรักษ์และโครงสร้างซิมเพล็กติก (symplectic structure) ที่ซับซ้อน

Definition

เมื่อกำหนดปัญหาเชิงการแปรผันด้วยลากรางจ์ แฮมิลตันคือการแปลงเลอจองด์ของลากรางจ์ในตัวแปรความเร็ว จากนั้นสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ (Euler-Lagrange equation) จะกลายเป็นสมการบัญญัติอันดับหนึ่งคู่ของแฮมิลตันสำหรับตำแหน่งและโมเมนตัม

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการแปลงเลอจองด์จากลากรางจ์ (Lagrangian) ไปสู่แฮมิลตัน (Hamiltonian), สมการบัญญัติของแฮมิลตัน (Hamilton's canonical equations), กฎการอนุรักษ์และความเชื่อมโยงกับทฤษฎีของเนอเธอร์ (Noether's theorem), สมการแฮมิลตัน-จาโคบี (Hamilton-Jacobi equation) และการแปลงบัญญัติ (canonical transformations) รวมถึงเรขาคณิตซิมเพล็กติกของปริภูมิเฟส (phase space) ที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีนี้

Core questions

• การแปลงเลอจองด์เปลี่ยนปัญหาลากรางจ์ให้เป็นปัญหาแฮมิลตันได้อย่างไร?
• ข้อดีของสมการบัญญัติอันดับหนึ่งคืออะไร?
• สมมาตรและกฎการอนุรักษ์ปรากฏในสูตรนี้ได้อย่างไร?
• บทบาทของสมการแฮมิลตัน-จาโคบีคืออะไร?

Key theories

สมการบัญญัติของแฮมิลตัน

การแปลงเลอจองด์เปลี่ยนสมการออยเลอร์-ลากรางจ์อันดับสองให้เป็นระบบอันดับหนึ่งแบบสมมาตรสำหรับตำแหน่งและโมเมนตัม โดยมีแฮมิลตันเป็นตัวสร้างวิวัฒนาการ

สมการแฮมิลตัน-จาโคบี

การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งเพียงสมการเดียวสำหรับฟังก์ชันกำเนิด (generating function) จะให้การแปลงบัญญัติที่ทำให้พลวัตเป็นเรื่องง่าย ซึ่งเชื่อมโยงกลศาสตร์เชิงการแปรผันเข้ากับทฤษฎีคลื่นและการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด

โครงสร้างซิมเพล็กติกและการอนุรักษ์

การไหลแบบแฮมิลตันรักษาฟอร์มซิมเพล็กติก (symplectic form) บนปริภูมิเฟส และทฤษฎีของเนอเธอร์เชื่อมโยงสมมาตรต่อเนื่องแต่ละชนิดเข้ากับปริมาณที่ถูกอนุรักษ์ ซึ่งจัดระเบียบปริพันธ์ของการเคลื่อนที่

Clinical relevance

การกำหนดสูตรแบบแฮมิลตันเป็นสะพานเชื่อมจากกลศาสตร์คลาสสิกไปสู่กลศาสตร์ควอนตัมและกลศาสตร์เชิงสถิติ เป็นบริบทธรรมชาติสำหรับกลศาสตร์ท้องฟ้าและระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ (integrable systems) และเป็นที่มาของสมการแฮมิลตัน-จาโคบี-เบลล์แมน (Hamilton-Jacobi-Bellman equation) ในการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal control)

History

แฮมิลตันได้กำหนดกลศาสตร์ขึ้นใหม่ในช่วงทศวรรษ 1830 ผ่านฟังก์ชันหลักและสมการบัญญัติของเขา และจาโคบีได้พัฒนาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่เกี่ยวข้องและทฤษฎีของการแปลงบัญญัติ ปวงกาเร (Poincare) และต่อมาอาร์โนลด์ (Arnold) ได้เปิดเผยเรขาคณิตซิมเพล็กติกที่ลึกซึ้งและผลที่ตามมาสำหรับการหาปริพันธ์ได้และความเสถียร

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Henri Poincare
• Vladimir Arnold

Seminal works

• gelfand1963
• arnold1989

Frequently asked questions

เหตุใดจึงต้องกำหนดปัญหาลากรางจ์ใหม่ในรูปของแฮมิลตัน?

รูปแบบแฮมิลตันจะแทนที่สมการอันดับสองหนึ่งสมการด้วยสมการอันดับหนึ่งสองสมการในตำแหน่งและโมเมนตัม โดยปฏิบัติต่อทั้งสองอย่างสมมาตร ซึ่งเผยให้เห็นปริมาณที่ถูกอนุรักษ์และโครงสร้างซิมเพล็กติกของปริภูมิเฟส และเป็นภาษาธรรมชาติสำหรับการแปลงบัญญัติและกลศาสตร์ควอนตัม

สมการแฮมิลตัน-จาโคบีใช้ทำอะไร?

เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งเพียงสมการเดียวที่คำตอบของมันสร้างการแปลงที่ทำให้พลวัตง่ายต่อการหาปริพันธ์ มันเชื่อมโยงกลศาสตร์เข้ากับทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต และปรากฏอีกครั้งในการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุดในฐานะสมการแฮมิลตัน-จาโคบี-เบลล์แมนสำหรับฟังก์ชันค่า (value function)