กลศาสตร์ลากรางจ์

กลศาสตร์ลากรางจ์เป็นการปรับปรุงพลศาสตร์ดั้งเดิมใหม่โดยใช้พลังงานและฟังก์ชันสเกลาร์เดี่ยวที่เรียกว่าลากรางเจียน โดยได้สมการการเคลื่อนที่จากหลักการที่ว่าการกระทำ (action) มีค่าคงที่

Definition

กลศาสตร์ลากรางจ์คือการกำหนดกลศาสตร์ดั้งเดิมที่พลศาสตร์ของระบบได้มาจากการกำหนดให้การกระทำ (action) ซึ่งคือปริพันธ์เวลาของลากรางเจียน L = T − V มีค่าคงที่ ซึ่งนำไปสู่สมการการเคลื่อนที่ของออยเลอร์-ลากรางจ์

Scope

สาขานี้ครอบคลุมรากฐานเชิงแปรผันของกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์: หลักการของการกระทำน้อยที่สุด (principle of least action), สมการออยเลอร์-ลากรางจ์, การใช้พิกัดทั่วไปเพื่อจัดการกับข้อจำกัดอย่างสง่างาม, และความเชื่อมโยงอย่างลึกซึ้งระหว่างสมมาตรต่อเนื่องกับกฎการอนุรักษ์ที่แสดงโดยทฤษฎีบทของเนอเธอร์ มันเป็นกรอบการทำงานที่ไม่ขึ้นกับพิกัดซึ่งสามารถขยายไปไกลกว่าอนุภาคจุด

Sub-topics

• Euler-Lagrange Equations
• Generalized Coordinates and Constraints
• Noether's Theorem and Symmetries
• Principle of Least Action

Core questions

• สมการการเคลื่อนที่สามารถหาได้จากฟังก์ชันสเกลาร์เดี่ยวและหลักการเชิงแปรผันได้อย่างไร?
• เหตุใดพิกัดทั่วไปจึงเป็นคำอธิบายที่มีประสิทธิภาพมากกว่าแรงคาร์ทีเซียนสำหรับระบบที่มีข้อจำกัด?
• ความเชื่อมโยงที่แม่นยำระหว่างสมมาตรของระบบกับปริมาณที่อนุรักษ์ไว้คืออะไร?

Key concepts

• ลากรางเจียน L = T − V
• ปริพันธ์การกระทำ (Action integral)
• พิกัดและอัตราเร็วทั่วไป
• ข้อจำกัดโฮโลโนมิก (Holonomic constraints)
• พิกัดวัฏจักรและโมเมนตัมที่อนุรักษ์ไว้
• สมมาตรต่อเนื่อง

Key theories

หลักการของการกระทำน้อยที่สุด (หลักการของแฮมิลตัน)

เส้นทางจริงของระบบระหว่างสองการจัดเรียงทำให้ปริพันธ์การกระทำมีค่าคงที่ ซึ่งสามารถนำไปใช้หาหลักการทางกลศาสตร์ทั้งหมดได้โดยไม่ต้องอ้างอิงถึงแรง

สมการออยเลอร์-ลากรางจ์

การกำหนดให้การกระทำมีค่าคงที่ทำให้ได้ชุดของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง ซึ่งมีหนึ่งสมการต่อหนึ่งพิกัดทั่วไป และเทียบเท่ากับกฎของนิวตันแต่ไม่ขึ้นกับพิกัด

ทฤษฎีบทของเนอเธอร์

ทุกสมมาตรต่อเนื่องของการกระทำจะสอดคล้องกับปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ ดังนั้นการไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนเวลา การเลื่อนตำแหน่งในอวกาศ และการหมุน จะให้การอนุรักษ์พลังงาน โมเมนตัม และโมเมนตัมเชิงมุม

Clinical relevance

วิธีการของลากรางจ์เป็นเครื่องมือสำคัญในการหาสมการการเคลื่อนที่ในสาขาหุ่นยนต์, พลศาสตร์ของวัตถุหลายส่วนและยานพาหนะ, ทฤษฎีการควบคุม, และระบบกลไกที่มีข้อจำกัด และโครงสร้างเชิงแปรผันของมันยังนำไปใช้โดยตรงในทฤษฎีสนามและกลศาสตร์ควอนตัม

History

ลากรางจ์ได้รวบรวมกลศาสตร์เชิงวิเคราะห์ไว้ในหนังสือ Mécanique analytique ปี 1788 ของเขา โดยตัดแผนภาพเรขาคณิตออกและใช้ระเบียบวิธีเชิงแปรผันทางพีชคณิตที่สร้างขึ้นจากผลงานก่อนหน้าของออยเลอร์และมอแปร์ตุยส์เกี่ยวกับหลักการของการกระทำน้อยที่สุด แฮมิลตันได้ปรับปรุงหลักการนี้ให้อยู่ในรูปแบบของการกระทำที่มีค่าคงที่ที่ทันสมัยในทศวรรษ 1830 และทฤษฎีบทของเอมมี เนอเธอร์ในปี 1918 ได้เปิดเผยถึงต้นกำเนิดของกฎการอนุรักษ์ที่มาจากสมมาตรอย่างลึกซึ้ง

Key figures

• Joseph-Louis Lagrange
• Leonhard Euler
• William Rowan Hamilton
• Emmy Noether

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976
• arnold1989

Frequently asked questions

กลศาสตร์ลากรางจ์มีประสิทธิภาพมากกว่ากลศาสตร์นิวตันหรือไม่?

ทั้งสองมีความเทียบเท่ากันทางกายภาพสำหรับระบบที่อธิบาย แต่การกำหนดแบบลากรางจ์มักจะสะดวกกว่ามาก: มันใช้พลังงานสเกลาร์ จัดการกับข้อจำกัดโดยอัตโนมัติผ่านพิกัดทั่วไป และสามารถขยายไปสู่ทฤษฎีสนามและทฤษฎีควอนตัมได้อย่างเป็นธรรมชาติ

คำว่า 'การกระทำน้อยที่สุด' หมายความว่าการกระทำจะถูกทำให้เหลือน้อยที่สุดเสมอไปหรือไม่?

ไม่เชิง การกระทำจะมีค่าคงที่ตามเส้นทางทางกายภาพ ซึ่งมักจะเป็นค่าต่ำสุดสำหรับเส้นทางสั้นๆ แต่อาจเป็นจุดอานม้าก็ได้ ข้อความที่แม่นยำคือการเปลี่ยนแปลงอันดับแรกของมันมีค่าเป็นศูนย์