สมการของแฮมิลตันและปริภูมิเฟส
สมการของแฮมิลตันเป็นชุดของสมการอันดับหนึ่งสองสมการที่แสดงวิวัฒนาการของพิกัดและโมเมนตัมสังยุคตามเวลาในรูปของอนุพันธ์ของแฮมิลโทเนียน ซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ในฐานะการไหลในปริภูมิเฟส
Definition
สมการของแฮมิลตันคือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งสองสมการ โดยสมการหนึ่งแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละพิกัด และอีกสมการหนึ่งแสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละโมเมนตัมสังยุคในรูปของอนุพันธ์ย่อยของแฮมิลโทเนียน ซึ่งกำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของระบบผ่านปริภูมิเฟส
Scope
หัวข้อนี้ครอบคลุมการแปลงเลอจองด์ที่นิยามแฮมิลโทเนียนจากลากรางเจียน สมการคาโนนิคัลที่ได้สำหรับแต่ละคู่พิกัด-โมเมนตัม โครงสร้างของปริภูมิเฟสและวิถีการเคลื่อนที่ภายในนั้น และทฤษฎีบทของลียูวิลล์เกี่ยวกับการอนุรักษ์ปริมาตรปริภูมิเฟสภายใต้การไหลแบบแฮมิลโทเนียน
Core questions
- แฮมิลโทเนียนถูกสร้างขึ้นจากลากรางเจียนโดยการแปลงเลอจองด์ได้อย่างไร?
- วิถีการเคลื่อนที่ในปริภูมิเฟสแสดงถึงอะไร และมีการวิวัฒนาการอย่างไร?
- เหตุใดปริมาตรปริภูมิเฟสจึงถูกอนุรักษ์ภายใต้การไหลแบบแฮมิลโทเนียน?
Key concepts
- การแปลงเลอจองด์
- โมเมนตัมสังยุค
- ปริภูมิเฟสและวิถีเฟส
- สมการคาโนนิคัล
- ทฤษฎีบทของลียูวิลล์
- พื้นผิวพลังงาน
Key theories
- สมการคาโนนิคัลของแฮมิลตัน
- การเคลื่อนที่ถูกควบคุมโดยสมการอันดับหนึ่งที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละพิกัดเท่ากับอนุพันธ์โมเมนตัมของแฮมิลโทเนียน และอัตราการเปลี่ยนแปลงของแต่ละโมเมนตัมเท่ากับลบอนุพันธ์พิกัด
- ทฤษฎีบทของลียูวิลล์
- การไหลที่สร้างขึ้นโดยแฮมิลโทเนียนจะรักษาปริมาตรในปริภูมิเฟส ดังนั้นบริเวณของเงื่อนไขเริ่มต้นจะวิวัฒนาการโดยไม่เปลี่ยนการวัดปริภูมิเฟส ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของกลศาสตร์เชิงสถิติ
Clinical relevance
ภาพปริภูมิเฟสและทฤษฎีบทของลียูวิลล์เป็นรากฐานของกลศาสตร์เชิงสถิติและวิธีการแบบกลุ่ม (ensemble methods) ของพลศาสตร์ลำอนุภาคในเครื่องเร่งอนุภาคที่พื้นที่ปริภูมิเฟสเป็นค่าคงที่ของการเปล่งแสง (emittance) ที่ถูกอนุรักษ์ไว้ และของตัวรวมเชิงตัวเลขแบบซิมเพลคติก (symplectic integrators) ที่ใช้ในการจำลองวงโคจรและโมเลกุลระยะยาว
History
แฮมิลตันได้นำเสนอสมการคาโนนิคัลในบทความของเขาในปี 1834-1835 เกี่ยวกับวิธีการทั่วไปในพลศาสตร์ โดยเปลี่ยนคำอธิบายแบบลากรางเจียนอันดับสองให้เป็นแบบอันดับหนึ่งที่มีความสมมาตร ทฤษฎีบทของลียูวิลล์ในปี 1838 เกี่ยวกับการอนุรักษ์ปริมาตรและการใช้ปริภูมิเฟสของกิบส์ในภายหลังสำหรับกลุ่มเชิงสถิติได้สร้างมุมมองปริภูมิเฟสให้เป็นศูนย์กลางของฟิสิกส์
Key figures
- William Rowan Hamilton
- Joseph Liouville
- Josiah Willard Gibbs
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- arnold1989
Frequently asked questions
- ปริภูมิเฟสคืออะไร?
- ปริภูมิเฟสคือปริภูมิที่มีพิกัดเป็นตำแหน่งทั่วไปทั้งหมดและโมเมนตัมสังยุคของพวกมัน จุดเดียวสามารถระบุสถานะทันทีของระบบได้อย่างสมบูรณ์ และประวัติของระบบคือเส้นโค้งผ่านปริภูมินี้
- เหตุใดสมการของแฮมิลตันจึงเป็นอันดับหนึ่งในขณะที่สมการของลากรางจ์เป็นอันดับสอง?
- ด้วยการพิจารณาโมเมนตัมเป็นตัวแปรอิสระควบคู่ไปกับพิกัด การกำหนดสูตรของแฮมิลตันจะเพิ่มจำนวนตัวแปรเป็นสองเท่า แต่ลดแต่ละสมการลงเป็นอันดับหนึ่ง ซึ่งเผยให้เห็นโครงสร้างสมมาตรของปริภูมิเฟส