ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบี

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบีมุ่งค้นหาการแปลงแบบคาโนนิคัล (canonical transformation) ไปยังตัวแปรที่การเคลื่อนที่เป็นเรื่องง่าย ลดกลศาสตร์ลงเป็นการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง (first-order partial differential equation) เพียงสมการเดียวสำหรับแอคชัน (action)

Definition

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบีคือการกำหนดกลศาสตร์ที่แก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง ซึ่งก็คือสมการแฮมิลตัน-จาโคบี สำหรับฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) ที่แปลงไปสู่พิกัดที่โมเมนตัมทั้งหมดคงที่และการเคลื่อนที่เป็นไปโดยทันที

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมสมการแฮมิลตัน-จาโคบี (Hamilton-Jacobi equation) สำหรับฟังก์ชันหลัก (principal function) และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของแฮมิลตัน วิธีการแยกตัวแปร (separation of variables) สำหรับการแก้สมการ การสร้างตัวแปรแอคชัน-มุม (action-angle variables) สำหรับระบบที่เป็นคาบ (periodic) และเป็นคาบหลายชั้น (multiply periodic) และบทบาทของทฤษฎีในฐานะขีดจำกัดแบบคลาสสิก (classical limit) และต้นกำเนิดเชิงแนวคิดของกลศาสตร์คลื่น (wave mechanics)

Core questions

• สมการแฮมิลตัน-จาโคบีคืออะไร และกำหนดฟังก์ชันอะไร?
• การแยกตัวแปรทำให้สมการสามารถแก้ไขได้สำหรับระบบที่สามารถหาปริพันธ์ได้อย่างไร?
• ตัวแปรแอคชัน-มุมคืออะไร และมีคุณค่าอย่างไร?

Key concepts

• ฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน
• ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของแฮมิลตัน
• การแยกตัวแปร
• ตัวแปรแอคชัน-มุม
• ปริพันธ์สมบูรณ์

Key theories

สมการแฮมิลตัน-จาโคบี

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่งแบบไม่เชิงเส้น (nonlinear partial differential equation) สำหรับฟังก์ชันหลักของแฮมิลตัน ซึ่งผลเฉลยสมบูรณ์จะสร้างการแปลงแบบคาโนนิคัลที่ลดระบบให้เหลือพิกัดและโมเมนตัมใหม่ที่คงที่

ตัวแปรแอคชัน-มุม

สำหรับระบบที่เป็นคาบ ทฤษฎีนี้ให้ตัวแปรแอคชันที่เป็นค่าคงที่ของการเคลื่อนที่ และตัวแปรมุมสังยุค (conjugate angle variables) ที่เปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอตามเวลา ซึ่งเหมาะสำหรับทฤษฎีการรบกวน (perturbation theory) และการควอนไทเซชัน

Clinical relevance

ทฤษฎีแฮมิลตัน-จาโคบีเป็นกรอบแนวคิดสำหรับการควอนไทเซชันแบบบอร์-ซอมเมอร์เฟลด์ (Bohr-Sommerfeld quantization) ของทฤษฎีควอนตัมเก่า คาดการณ์ขีดจำกัดแบบไอโคนาล (eikonal) และทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต (geometrical-optics limit) ของสมการคลื่น และเป็นรากฐานของทฤษฎีการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด (optimal-control theory) ผ่านสมการแฮมิลตัน-จาโคบี-เบลล์แมน (Hamilton-Jacobi-Bellman equation) ที่เกี่ยวข้องซึ่งใช้ในวิศวกรรมและเศรษฐศาสตร์

History

แฮมิลตันได้พัฒนาฟังก์ชันหลักในทัศนศาสตร์และกลศาสตร์ในช่วงต้นทศวรรษ 1830 และจาโคบีได้ปรับปรุงและทำให้ทฤษฎีสมบูรณ์ โดยให้สมการในรูปแบบที่ทันสมัยและแสดงให้เห็นถึงพลังของมันในการรวมปัญหาพลวัต ในช่วงต้นศตวรรษที่ยี่สิบ การกำหนดตัวแปรแอคชัน-มุมได้กลายเป็นพื้นฐานของกฎการควอนไทเซชันของซอมเมอร์เฟลด์ ซึ่งเชื่อมโยงกลศาสตร์คลาสสิกเข้ากับทฤษฎีควอนตัมที่กำลังเกิดขึ้น

Key figures

• William Rowan Hamilton
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Arnold Sommerfeld

Seminal works

• goldstein2002
• landau1976

Frequently asked questions

ทำไมต้องแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแทนที่จะเป็นสมการการเคลื่อนที่แบบสามัญ?

ผลเฉลยสมบูรณ์ของสมการแฮมิลตัน-จาโคบีเพียงสมการเดียวให้การแปลงแบบคาโนนิคัลที่ทำให้การเคลื่อนที่ทั้งหมดชัดเจนในคราวเดียว ซึ่งสำหรับระบบที่แยกได้และสามารถหาปริพันธ์ได้ จะมีประสิทธิภาพมากกว่าการหาปริพันธ์สมการสามัญที่เชื่อมโยงกันโดยตรง

ทฤษฎีนี้เชื่อมโยงกับกลศาสตร์ควอนตัมอย่างไร?

สมการแฮมิลตัน-จาโคบีคือขีดจำกัดความยาวคลื่นสั้นของสมการชโรดิงเงอร์ และฟังก์ชันหลักของแฮมิลตันมีบทบาทเป็นเฟสของฟังก์ชันคลื่นควอนตัม ทำให้ทฤษฎีนี้เป็นโครงสร้างคลาสสิกของกลศาสตร์คลื่น