การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดจะกำหนดอินพุตควบคุมที่นำพาระบบพลวัตเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ตามเกณฑ์ประสิทธิภาพสูงสุดเมื่อเวลาผ่านไป

Definition

ปัญหาการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดมักจะแสวงหาฟังก์ชันควบคุมที่ลดฟังก์ชันต้นทุนภายใต้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ควบคุมสถานะ โดยทั่วไปแล้วคำตอบของปัญหานี้จะถูกกำหนดโดยเงื่อนไขที่จำเป็นจากหลักการสูงสุด หรือโดยฟังก์ชันค่าของการเขียนโปรแกรมเชิงพลวัต

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมการกำหนดปัญหาการควบคุมด้วยพลวัตของสถานะและฟังก์ชันต้นทุน หลักการสูงสุดของ Pontryagin และสมการแอดจอยต์ การเขียนโปรแกรมเชิงพลวัตและสมการ Hamilton-Jacobi-Bellman ตัวควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง และความสัมพันธ์กับการคำนวณความแปรผันแบบคลาสสิก

Core questions

• กฎการควบคุมใดที่ลดต้นทุนที่กำหนดตลอดเส้นทางของระบบ?
• เงื่อนไขที่จำเป็นใดบ้างที่การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดต้องเป็นไปตาม?
• การเขียนโปรแกรมเชิงพลวัตกำหนดลักษณะฟังก์ชันค่าที่เหมาะสมที่สุดได้อย่างไร?
• การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดขยายการคำนวณความแปรผันไปยังอินพุตที่มีข้อจำกัดได้อย่างไร?

Key theories

หลักการสูงสุดของ Pontryagin

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดจะเพิ่มค่า Hamiltonian ให้สูงสุดในแต่ละช่วงเวลา โดยมีตัวแปรโคสเตต (costate) แอดจอยต์ที่วิวัฒนาการย้อนหลังตามเวลา ซึ่งให้เงื่อนไขที่จำเป็นแม้ว่าการควบคุมจะมีข้อจำกัด

การเขียนโปรแกรมเชิงพลวัตและสมการ HJB

หลักการความเป็นที่สุดของ Bellman นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย Hamilton-Jacobi-Bellman สำหรับฟังก์ชันค่า ซึ่งคำตอบจะให้การควบคุมป้อนกลับที่เหมาะสมที่สุด

ตัวควบคุมเชิงเส้น-กำลังสอง

สำหรับพลวัตเชิงเส้นและต้นทุนกำลังสอง การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดคือการป้อนกลับสถานะเชิงเส้นที่กำหนดโดยคำตอบของสมการ Riccati ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญของวิศวกรรมการควบคุม

Clinical relevance

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดมักจะถูกนำมาใช้ในการนำทางอากาศยานและยานอวกาศ การควบคุมกระบวนการและหุ่นยนต์ การวางแผนเศรษฐกิจและทรัพยากรเมื่อเวลาผ่านไป และแบบจำลองการจัดตารางการรักษา ซึ่งให้แนวทางที่เป็นหลักการในการดำเนินการอย่างเหมาะสมกับระบบพลวัต

History

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดเริ่มปรากฏขึ้นในช่วงทศวรรษ 1950 จากการคำนวณความแปรผันภายใต้แรงกดดันของปัญหาด้านการบินและอวกาศ Pontryagin และเพื่อนร่วมงานได้สร้างหลักการสูงสุดขึ้นในช่วงปี 1956-1962 ในขณะเดียวกัน Bellman ก็ได้พัฒนาการเขียนโปรแกรมเชิงพลวัต และทฤษฎีเชิงเส้น-กำลังสองและการกรองของ Kalman ได้ทำให้หัวข้อนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อวิศวกรรมสมัยใหม่

Key figures

• Lev Pontryagin
• Richard Bellman
• Rudolf Kalman
• Constantin Caratheodory

Seminal works

• pontryagin1962
• bertsekas2017
• liberzon2012

Frequently asked questions

การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดเกี่ยวข้องกับการคำนวณความแปรผันอย่างไร?

การคำนวณความแปรผันจะหาค่าที่เหมาะสมที่สุดบนเส้นโค้งได้อย่างอิสระ ในขณะที่การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดจะหาค่าที่เหมาะสมที่สุดบนอินพุตของระบบพลวัต ซึ่งมักจะมีข้อจำกัดในการควบคุม หลักการสูงสุดจะขยายเงื่อนไข Euler-Lagrange แบบคลาสสิกไปยังการตั้งค่าที่มีข้อจำกัดและขับเคลื่อนด้วยระบบนี้

ความแตกต่างระหว่างหลักการสูงสุดและการเขียนโปรแกรมเชิงพลวัตคืออะไร?

หลักการสูงสุดให้เงื่อนไขที่จำเป็นตามเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดเพียงเส้นทางเดียวโดยใช้ตัวแปรแอดจอยต์ ในขณะที่การเขียนโปรแกรมเชิงพลวัตจะกำหนดลักษณะต้นทุนที่เหมาะสมที่สุดจากทุกสถานะผ่านสมการ Hamilton-Jacobi-Bellman ซึ่งให้กฎการป้อนกลับ มุมมองทั้งสองนี้เสริมกันและเชื่อมโยงกัน