แคลคูลัสของการแปรผัน
แคลคูลัสของการแปรผันมุ่งค้นหาฟังก์ชันที่ทำให้ฟังก์ชันนัลเชิงปริพันธ์มีค่าสุดขีด โดยเป็นการขยายแนวคิดการหาค่าสูงสุดและต่ำสุดปกติจากจุดไปสู่เส้นโค้งและฟิลด์
Definition
แคลคูลัสของการแปรผันศึกษาฟังก์ชันนัล ซึ่งกำหนดตัวเลขให้กับฟังก์ชัน และมุ่งค้นหาฟังก์ชันที่ทำให้ฟังก์ชันนัลมีค่าคงที่หรือมีค่าสุดขีด ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตและเงื่อนไขข้างเคียง
Scope
ขอบเขตนี้ครอบคลุมการหาสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ (Euler-Lagrange equations) ซึ่งเป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับค่าสุดขีด ปัญหาการแปรผันที่มีข้อจำกัดและขอบเขตอิสระ เงื่อนไขการแปรผันอันดับสองและภาวะนูนสำหรับการหาค่าต่ำสุด วิธีตรงในการพิสูจน์การมีอยู่ของตัวทำให้เกิดค่าต่ำสุด และความเชื่อมโยงกับกลศาสตร์แบบแฮมิลตันและการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด
Sub-topics
Core questions
- ฟังก์ชันใดที่ทำให้ฟังก์ชันนัลเชิงปริพันธ์ที่กำหนดมีค่าคงที่?
- เงื่อนไขจำเป็นและเพียงพอใดที่ระบุตัวทำให้เกิดค่าต่ำสุด?
- ตัวทำให้เกิดค่าต่ำสุดมีอยู่จริงเมื่อใด?
- หลักการแปรผันเข้ารหัสกฎของฟิสิกส์ได้อย่างไร?
Key theories
- สมการออยเลอร์-ลากรองจ์
- ฟังก์ชันที่ทำให้ฟังก์ชันนัลเชิงปริพันธ์มีค่าสุดขีดจะต้องเป็นไปตามสมการเชิงอนุพันธ์ออยเลอร์-ลากรองจ์ ซึ่งเป็นอนาล็อกเชิงการแปรผันของการกำหนดให้อนุพันธ์เป็นศูนย์
- วิธีตรง
- การมีอยู่ของตัวทำให้เกิดค่าต่ำสุดถูกพิสูจน์โดยการใช้ลำดับที่ทำให้เกิดค่าต่ำสุดและใช้ความกะทัดรัดและความต่อเนื่องกึ่งล่าง โดยหลีกเลี่ยงการแก้สมการออยเลอร์-ลากรองจ์โดยตรง
- หลักการแปรผันในฟิสิกส์
- หลักการของการกระทำคงที่ของแฮมิลตัน (Hamilton's principle of stationary action) ได้ปรับเปลี่ยนกลศาสตร์และทฤษฎีสนามให้เป็นปัญหาเชิงการแปรผัน โดยรวมสมการควบคุมของทฤษฎีเหล่านี้ผ่านแคลคูลัสของการแปรผัน
Clinical relevance
ระเบียบวิธีเชิงการแปรผันแสดงกฎพื้นฐานในฟิสิกส์ผ่านหลักการของการกระทำน้อยที่สุดและพลังงานน้อยที่สุด และเป็นรากฐานของการควบคุมแบบเหมาะสมที่สุด เรขาคณิตของพื้นผิวน้อยที่สุดและจีโอเดสิก การประมวลผลภาพ และระเบียบวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ในงานวิศวกรรม
History
หัวข้อนี้เริ่มต้นจากปัญหาบราคิสโตโครน (brachistochrone problem) ที่โยฮันน์ แบร์นูลลี (Johann Bernoulli) ตั้งขึ้นในปี ค.ศ. 1696 ออยเลอร์ (Euler) และลากรองจ์ (Lagrange) ได้พัฒนาทฤษฎีทั่วไปและสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ในศตวรรษที่สิบแปด แฮมิลตัน (Hamilton) ได้ปรับเปลี่ยนกลศาสตร์ในรูปแบบการแปรผัน และวิธีตรงของฮิลเบิร์ต (Hilbert) ในศตวรรษที่ยี่สิบและปัญหาที่ยี่สิบสามของเขาได้ฟื้นฟูทฤษฎีการมีอยู่
Key figures
- Leonhard Euler
- Joseph-Louis Lagrange
- William Rowan Hamilton
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- gelfand1963
- courant1953
- dacorogna2008
Frequently asked questions
- แคลคูลัสของการแปรผันแตกต่างจากแคลคูลัสทั่วไปอย่างไร?
- แคลคูลัสทั่วไปค้นหาจุดที่ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุด ในขณะที่แคลคูลัสของการแปรผันค้นหาฟังก์ชันทั้งหมด เช่น เส้นโค้งหรือพื้นผิว ที่ทำให้ปริพันธ์มีค่าสุดขีด ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือฟังก์ชันแทนที่จะเป็นตัวเลข และเงื่อนไขสำหรับค่าสุดขีดคือสมการเชิงอนุพันธ์
- หลักการของการกระทำน้อยที่สุดคืออะไร?
- เป็นข้อความทางฟิสิกส์ที่ระบุว่าการเคลื่อนที่ของระบบทำให้ปริมาณที่เรียกว่า 'การกระทำ' มีค่าคงที่ การประยุกต์ใช้แคลคูลัสของการแปรผันกับการกระทำจะให้สมการการเคลื่อนที่ ดังนั้นฟิสิกส์คลาสสิกและควอนตัมส่วนใหญ่จึงสามารถอนุมานได้จากหลักการแปรผันเพียงหลักการเดียว