หลักการของการกระทำน้อยที่สุด

หลักการของการกระทำน้อยที่สุดระบุว่าเส้นทางทางกายภาพที่ระบบดำเนินไปมาระหว่างสองการจัดเรียงคือเส้นทางที่ปริพันธ์ของการกระทำมีค่าคงที่

Definition

หลักการของการกระทำน้อยที่สุดคือการยืนยันว่าระบบกลไกมีการวิวัฒนาการไปตามวิถีที่การกระทำ ซึ่งเป็นปริพันธ์ของลากรางเจียนตลอดเวลา มีค่าคงที่ภายใต้การแปรผันเล็กน้อยของเส้นทางโดยที่จุดปลายถูกตรึงไว้

Scope

หัวข้อนี้ครอบคลุมฟังก์ชันนัลของการกระทำในฐานะปริพันธ์เวลาของลากรางเจียน (Lagrangian), หลักการของการกระทำคงที่ของแฮมิลตัน (Hamilton's principle of stationary action), แคลคูลัสของการแปรผันที่ใช้ในการหาเส้นทางทางกายภาพ, และความแตกต่างระหว่างหลักการของมอแปร์ตุย (Maupertuis) แบบเก่า (การกระทำแบบย่อ) กับหลักการของแฮมิลตัน สิ่งนี้กระตุ้นให้เห็นว่าเหตุใดคำกล่าวการแปรผันเพียงครั้งเดียวจึงสามารถเข้ารหัสกลศาสตร์ทั้งหมดได้

Core questions

• การกระทำคืออะไร และการที่มันมีค่าคงที่หมายความว่าอย่างไร?
• หลักการของแฮมิลตันแตกต่างจากหลักการของการกระทำน้อยที่สุดของมอแปร์ตุยแบบเก่าอย่างไร?
• เหตุใดหลักการแปรผันเพียงหลักการเดียวจึงสามารถสร้างพลศาสตร์ของนิวตันทั้งหมดขึ้นมาใหม่ได้?

Key concepts

• ฟังก์ชันนัลของการกระทำ
• แคลคูลัสของการแปรผัน
• เส้นทางคงที่ (สุดขีด)
• เงื่อนไขจุดปลาย (ขอบเขต)
• การกระทำแบบย่อ

Key theories

หลักการของแฮมิลตัน

ในบรรดาเส้นทางทั้งหมดที่มีจุดปลายคงที่ในปริภูมิการจัดเรียง การเคลื่อนที่ทางกายภาพคือเส้นทางที่ปริพันธ์ของการกระทำมีการแปรผันอันดับแรกเป็นศูนย์ ทำให้การกระทำมีค่าคงที่

หลักการของการกระทำแบบย่อของมอแปร์ตุย

รูปแบบการแปรผันก่อนหน้านี้จะตรึงพลังงานไว้และทำให้การกระทำแบบย่อมีค่าคงที่ตลอดเส้นทางในปริภูมิการจัดเรียง ซึ่งเทียบเท่ากับหลักการของแฮมิลตันภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม

Clinical relevance

หลักการของการกระทำเป็นสะพานแนวคิดจากฟิสิกส์คลาสสิกสู่ฟิสิกส์สมัยใหม่: มันขยายไปสู่ทฤษฎีสนามสัมพัทธภาพและเป็นรากฐานของการกำหนดปริพันธ์วิถีของไฟน์แมน (Feynman's path-integral formulation) ในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งทุกวิถีมีส่วนร่วมโดยถ่วงน้ำหนักด้วยการกระทำ

History

มอแปร์ตุยเสนอหลักการของการกระทำน้อยที่สุดในช่วงทศวรรษ 1740 บนพื้นฐานทางอภิปรัชญา ซึ่งออยเลอร์และลากรางจ์ได้วางรากฐานทางคณิตศาสตร์ที่มั่นคงผ่านแคลคูลัสของการแปรผัน แฮมิลตันได้ปรับปรุงหลักการนี้ในช่วงทศวรรษ 1830 ให้เป็นหลักการของการกระทำคงที่สมัยใหม่ตลอดเวลา ซึ่งกลายเป็นจุดเริ่มต้นที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับทั้งกลศาสตร์ลากรางเจียนและกลศาสตร์แฮมิลตัน

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

การกระทำถูกทำให้เหลือน้อยที่สุดจริงหรือ?

บ่อยครั้ง แต่ไม่เสมอไป เงื่อนไขที่กำหนดคือการกระทำมีค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่าการแปรผันอันดับแรกของมันเป็นศูนย์ สำหรับเส้นทางที่ยาวพอ จุดคงที่อาจเป็นจุดอานม้ามากกว่าจุดต่ำสุด

หลักการนี้เกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ควอนตัมอย่างไร?

ในการรวมวิถีของไฟน์แมน แอมพลิจูดควอนตัมจะรวมผลรวมจากทุกวิถีที่ถ่วงน้ำหนักด้วยเลขชี้กำลังของการกระทำ; วิถีการกระทำน้อยที่สุดแบบคลาสสิกจะปรากฏขึ้นเมื่อผลรวมของส่วนประกอบที่อยู่ใกล้เคียงเสริมกันอย่างสร้างสรรค์