Processos de Poisson e Pontuais

Um processo pontual é uma dispersão aleatória de pontos no tempo ou no espaço; o processo de Poisson, no qual regiões disjuntas contêm contagens independentes distribuídas por Poisson, é o seu exemplo fundamental.

Definition

Um processo pontual é uma medida aleatória que coloca um conjunto discreto de pontos em um espaço, e o processo de Poisson é o processo pontual no qual o número de pontos em qualquer região é distribuído por Poisson com média dada por uma medida de intensidade e as contagens em regiões disjuntas são independentes.

Scope

Esta área abrange o processo de Poisson homogêneo e suas caracterizações através de tempos de interchegada exponenciais independentes e incrementos independentes, processos de Poisson não homogêneos e compostos, a teoria geral dos processos pontuais como medidas de contagem aleatórias, intensidade e marcas, operações como superposição, desbaste e mapeamento, e padrões pontuais espaciais.

Sub-topics

• Homogeneous Poisson Process
• Inhomogeneous and Compound Poisson Processes
• Spatial Point Processes

Core questions

• O que define um processo de Poisson e quais caracterizações equivalentes o descrevem?
• Como surgem os incrementos independentes e os tempos de interchegada exponenciais?
• Como os processos pontuais são formalizados como medidas de contagem aleatórias?
• Como o desbaste, a superposição e o mapeamento transformam os processos de Poisson?

Key theories

Caracterizações do processo de Poisson

O processo de Poisson homogêneo é descrito equivalentemente por contagens de Poisson com incrementos independentes, por tempos de interchegada exponenciais independentes e identicamente distribuídos, e como o único processo pontual simples com incrementos independentes estacionários e sem átomos fixos.

Teoremas de mapeamento, desbaste e superposição

Deslocar independentemente, deletar aleatoriamente ou mesclar pontos de processos de Poisson novamente produz processos de Poisson com medidas de intensidade transformadas, uma robustez que torna o processo de Poisson o modelo canônico para pontos completamente aleatórios.

Clinical relevance

Os processos pontuais modelam a chegada de clientes, chamadas telefônicas, decaimentos radioativos, sinistros de seguros, picos neuronais e as localizações espaciais de árvores, galáxias ou casos de doenças; o processo de Poisson serve como linha de base da aleatoriedade espacial completa contra a qual o agrupamento ou a regularidade são julgados.

History

A distribuição de Poisson surgiu no trabalho de Poisson de 1837 sobre julgamentos, o processo foi usado por Erlang a partir de 1909 para modelar o tráfego telefônico e por Bateman e Rutherford para o decaimento radioativo, e a teoria moderna de processos pontuais baseada na teoria da medida foi consolidada no final do século XX por Kingman, Daley e Vere-Jones.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

O que é um processo de Poisson?

É um modelo para pontos dispersos completamente ao acaso no tempo ou no espaço, no qual o número de pontos em qualquer região segue uma distribuição de Poisson e as contagens em regiões não sobrepostas são independentes.

Por que o processo de Poisson é tão amplamente utilizado?

É o modelo natural de aleatoriedade completa, é preservado sob desbaste, superposição e mapeamento, e surge como um limite sempre que muitos eventos raros independentes se acumulam, tornando-o uma linha de base flexível e tratável.