Processos de Poisson

O processo de Poisson é o modelo de pontos espalhados completamente ao acaso no tempo ou no espaço, no qual as contagens em regiões disjuntas são independentes e distribuídas por Poisson, tornando-o a descrição canônica de chegadas aleatórias.

Definition

Um processo de Poisson é um processo de contagem cujos números de eventos em regiões disjuntas são independentes e distribuídos por Poisson com média proporcional ao tamanho da região, equivalentemente um processo de pontos com incrementos independentes e estacionários.

Scope

O tópico abrange o processo de Poisson homogêneo na linha definida por tempos de interchegada exponenciais independentes, sua caracterização equivalente através de incrementos independentes com distribuição de Poisson, os processos de ponto de Poisson não homogêneos e espaciais, as operações de superposição e desbaste (thinning), a propriedade de estatísticas de ordem dos tempos de chegada condicionados, e o processo de Poisson como o processo de contagem de Markov de tempo contínuo mais simples.

Core questions

• Que propriedades de independência e distribuição caracterizam pontos completamente aleatórios?
• Por que os tempos de espera entre eventos de Poisson são distribuídos exponencialmente e sem memória?
• Como a superposição e o desbaste combinam e dividem processos de Poisson?
• Como os tempos de chegada são distribuídos uma vez que o número de chegadas é conhecido?

Key concepts

• incrementos independentes
• tempos de interchegada exponenciais
• superposição e desbaste
• intensidade não homogênea
• processo de ponto espacial

Key theories

Propriedades definidoras do processo de Poisson

Contagens independentes com distribuição de Poisson sobre conjuntos disjuntos, tempos de interchegada exponenciais sem memória, e o limite de muitos eventos independentes raros descrevem o mesmo processo, três caracterizações equivalentes que explicam sua universalidade.

Superposição, desbaste e a propriedade de estatísticas de ordem

A fusão de processos de Poisson independentes soma suas taxas, manter independentemente cada ponto com uma probabilidade fixa resulta em um processo de Poisson desbastado, e condicionado à contagem, os tempos de chegada são distribuídos como amostras uniformes ordenadas, um conjunto de ferramentas para manipular pontos de Poisson.

Clinical relevance

O processo de Poisson é o modelo padrão para fluxos de chegada em filas e telecomunicações, para o momento de decaimentos radioativos e detecções de fótons, para chegadas de sinistros de seguros, e como o modelo de processo de ponto espacial para as localizações de estrelas, árvores ou eventos celulares, onde suas regras de desbaste e superposição tornam a análise tratável.

History

Poisson derivou a lei limitante de eventos raros em 1837. Erlang aplicou as chegadas de Poisson ao tráfego telefônico no início do século XX, fundando a teoria das filas, e Kingman forneceu o tratamento moderno baseado na teoria da medida dos processos de ponto de Poisson em espaços gerais.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Por que os tempos entre eventos de Poisson são exponenciais?

Porque o processo não tem memória: a chance de um evento no próximo instante não depende de quanto tempo já se esperou, e a distribuição exponencial é a única distribuição contínua com esta propriedade de ausência de memória.

O que faz o desbaste de um processo de Poisson?

Se cada ponto de um processo de Poisson é independentemente mantido com alguma probabilidade fixa, os pontos retidos formam novamente um processo de Poisson com a taxa escalada por essa probabilidade, e os pontos mantidos e descartados são independentes.