Processos de Poisson Inomogêneos e Compostos

Generalizando o processo de Poisson, uma versão inomogênea permite que a taxa de eventos varie no tempo ou no espaço, enquanto uma versão composta atribui tamanhos aleatórios independentes a cada evento.

Definition

Um processo de Poisson inomogêneo é um processo de contagem com incrementos independentes, cuja contagem em uma região é distribuída de Poisson com média dada pela integral de uma intensidade não constante, e um processo de Poisson composto é a soma de saltos aleatórios independentes e identicamente distribuídos ocorrendo nos eventos de um processo de Poisson.

Scope

Este tópico abrange o processo de Poisson inomogêneo definido por uma função de intensidade variável e medida média cumulativa, a mudança de tempo que o mapeia para um processo de Poisson padrão, o processo de Poisson composto formado pela soma de marcas independentes em tempos de eventos de Poisson, sua média, variância e função característica, e aplicações em risco de seguro e ruído de tiro (shot noise).

Core questions

• Como uma função de intensidade variável generaliza o processo de taxa constante?
• Como um processo inomogêneo pode ser transformado em um homogêneo por uma mudança de tempo?
• Como são calculadas a média e a variância de uma soma de Poisson composta?
• Como esses processos modelam sinistros de seguro e ruído de tiro (shot noise)?

Key theories

Mudança de tempo para Poisson padrão

Reescalar o tempo pela função de intensidade cumulativa transforma um processo de Poisson inomogêneo em um processo de Poisson padrão de taxa um, o que tanto caracteriza o processo inomogêneo quanto fornece um método de simulação por inversão ou desbaste (thinning).

Distribuição de Poisson composta

A soma de um número de saltos independentes distribuídos por Poisson tem média e variância expressáveis através da distribuição dos saltos, e sua função característica é o exponencial da taxa vezes a função característica dos saltos menos um, ligando-a a leis infinitamente divisíveis.

Clinical relevance

Processos de Poisson inomogêneos modelam taxas de chegada variáveis no tempo, como tráfego diário ou incidência sazonal de doenças, enquanto processos de Poisson compostos são o modelo clássico de sinistros de seguro agregados na teoria de risco de Cramer-Lundberg e de ruído de tiro (shot noise) em física e processamento de sinais.

History

Lundberg introduziu o modelo de risco de Poisson composto em 1903 e Cramer desenvolveu sua teoria da ruína na década de 1930, enquanto os processos de Poisson inomogêneos e sua simulação baseada em desbaste (thinning), formalizada por Lewis e Shedler em 1979, tornaram-se ferramentas padrão para modelar taxas de eventos variáveis no tempo.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Qual é a diferença entre processos de Poisson inomogêneos e compostos?

Um processo inomogêneo mantém saltos unitários, mas permite que a taxa de eventos varie no tempo ou no espaço, enquanto um processo composto mantém um número de eventos de Poisson, mas atribui a cada um um tamanho aleatório.

Como um processo de Poisson composto é usado em seguros?

Ele modela o total de sinistros como um número de Poisson de valores de sinistros independentes; o agregado resultante é a base da teoria clássica da ruína, que estuda a probabilidade de que os sinistros acumulados excedam as reservas.