Teoria da Renovação

A teoria da renovação estuda processos que recomeçam a cada ocorrência de um evento, onde os tempos entre eventos sucessivos são independentes e identicamente distribuídos.

Definition

Um processo de renovação é um processo de contagem cujos tempos de interchegada são variáveis aleatórias positivas independentes e identicamente distribuídas, e a teoria da renovação analisa a função de renovação resultante, suas assintóticas e o comportamento limitante de quantidades associadas, como idade e tempo de vida residual.

Scope

Este tópico abrange o processo de renovação e a função de renovação, a equação de renovação e sua solução, o teorema elementar de renovação que fornece a taxa de renovação de longo prazo, o teorema chave de renovação e o teorema de Blackwell sobre incrementos assintóticos, o paradoxo da inspeção e a distribuição da idade e vida residual, e os processos de renovação atrasados e estacionários.

Core questions

• Como a função de renovação é definida e calculada a partir da distribuição de interchegada?
• Qual é a taxa de renovação de longo prazo?
• O que os teoremas chave de renovação e de Blackwell descrevem assintoticamente?
• Por que o paradoxo da inspeção torna um intervalo observado típico mais longo do que a média?

Key theories

Teoremas elementar e chave de renovação

A taxa de renovação de longo prazo é igual ao recíproco do tempo médio de interchegada, e o teorema chave de renovação fornece o valor limitante da convolução de uma função com a densidade de renovação, fornecendo as assintóticas de uma ampla classe de equações de renovação.

Idade, vida residual e o paradoxo da inspeção

O intervalo que cobre um tempo de observação fixo é estocasticamente mais longo do que um intervalo de interchegada típico porque intervalos mais longos são mais propensos a serem amostrados, e as distribuições limitantes de idade e vida residual decorrem da densidade de renovação de equilíbrio.

Clinical relevance

A teoria da renovação modela a substituição de componentes na engenharia de confiabilidade, a recorrência de eventos na análise de manutenção e garantia, e o custo de longo prazo de sistemas operacionais com tempos de falha aleatórios, e fornece a espinha dorsal assintótica para modelos de filas e inventário.

History

A teoria da renovação surgiu de problemas de substituição populacional e substituição industrial nas décadas de 1930 e 1940, com Feller e Smith estabelecendo a equação de renovação e suas assintóticas, Blackwell provando seu teorema de renovação em 1948, e a monografia de Cox de 1962 dando ao assunto sua exposição padrão.

Key figures

• William Feller
• David Blackwell
• David Cox
• Walter Smith

Seminal works

• coxRenewal1962

Frequently asked questions

O que é um processo de renovação?

É um processo que conta eventos cujos tempos de interchegada são independentes e identicamente distribuídos; o processo de Poisson é o caso especial em que esses tempos são exponenciais.

O que é o paradoxo da inspeção?

Se você observar um processo de renovação em um tempo fixo, o intervalo que contém esse tempo tende a ser mais longo do que um intervalo escolhido aleatoriamente, porque intervalos mais longos são mais propensos a serem aquele em que você se encontra.