बहुभिन्नरूपी वितरण

बहुभिन्नरूपी वितरण कई यादृच्छिक चरों के संयुक्त संभाव्य व्यवहार का वर्णन करते हैं और वह आधार प्रदान करते हैं जिस पर बहुभिन्नरूपी अनुमान निर्मित होता है।

Definition

एक बहुभिन्नरूपी वितरण एक यादृच्छिक सदिश के लिए एक संभाव्यता नियम है जो इसके घटकों के संयुक्त वितरण को निर्दिष्ट करता है, जिसमें उनका सीमांत व्यवहार और उनकी निर्भरता शामिल है।

Scope

यह क्षेत्र बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी के केंद्रीय संभाव्यता मॉडल को शामिल करता है: बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण और उसके गुण, विशार्ट वितरण जो नमूना सहप्रसरण मैट्रिसेस को नियंत्रित करता है, और कॉपुला मॉडल जो सीमांत व्यवहार को निर्भरता संरचना से अलग करते हैं। यह संयुक्त, सीमांत और सशर्त वितरण, क्षणों और अनुमान तथा परिकल्पना परीक्षण में इन वितरणों की भूमिका को संबोधित करता है।

Sub-topics

• कॉपुला मॉडल
• बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण
• विशार्ट वितरण

Core questions

• कई यादृच्छिक चरों के संयुक्त व्यवहार को कैसे निर्दिष्ट और चित्रित किया जाता है?
• बहुभिन्नरूपी सामान्य डेटा से कौन से नमूनाकरण वितरण उत्पन्न होते हैं?
• सीमांत वितरणों से अलग निर्भरता को कैसे मॉडल किया जा सकता है?
• कौन सी वितरण संबंधी धारणाएँ मानक बहुभिन्नरूपी प्रक्रियाओं को उचित ठहराती हैं?

Key theories

एक आधार के रूप में बहुभिन्नरूपी सामान्य

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण रैखिक परिवर्तन, सीमांतीकरण और कंडीशनिंग के तहत बंद होता है, और इसका माध्य सदिश और सहप्रसरण मैट्रिक्स इसे पूरी तरह से निर्दिष्ट करते हैं, जिससे यह बहुभिन्नरूपी अनुमान के लिए केंद्रीय मॉडल बन जाता है।

सीमांतों और निर्भरता का पृथक्करण

स्कालार के प्रमेय के अनुसार कोई भी संयुक्त वितरण अपने सीमांत वितरणों और निर्भरता को एन्कोड करने वाले एक कॉपुला में विघटित किया जा सकता है, जिससे निर्भरता को सीमांतों से स्वतंत्र रूप से मॉडल किया जा सकता है।

Clinical relevance

बहुभिन्नरूपी वितरण लगभग हर बहुभिन्नरूपी विधि की मान्यताओं और नमूनाकरण सिद्धांत को रेखांकित करते हैं, और विशेष रूप से कॉपुला मॉडल का उपयोग वित्त, जल विज्ञान और जोखिम विश्लेषण में निर्भरता को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

History

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण और सहप्रसरण मैट्रिसेस के विशार्ट नमूनाकरण वितरण को बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में स्थापित किया गया था और बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के शास्त्रीय सिद्धांत में व्यवस्थित किया गया था। कॉपुला सिद्धांत, जिसे 1959 में स्कालार के प्रमेय के माध्यम से औपचारिक रूप दिया गया था, ने बाद में निर्भरता मॉडलिंग के लिए एक लचीला ढांचा प्रदान किया।

Key figures

• T. W. Anderson
• John Wishart
• Abe Sklar

Seminal works

• anderson2003
• mardia1979
• muirhead1982

Frequently asked questions

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण इतना केंद्रीय क्यों है?

यह बहुभिन्नरूपी केंद्रीय-सीमा व्यवहार के माध्यम से एक सीमित वितरण के रूप में उत्पन्न होता है, गणितीय रूप से सुगम है, और बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में माध्य, सहप्रसरण और कई परीक्षण आंकड़ों के लिए नमूनाकरण सिद्धांत को रेखांकित करता है।

कॉपुला सीमांत वितरणों से परे क्या जोड़ता है?

एक कॉपुला चरों को जोड़ने वाली निर्भरता संरचना को कैप्चर करता है, जिससे मनमाने सीमांत वितरणों को निर्भरता के एक चुने हुए पैटर्न के साथ जोड़ा जा सकता है।