जोखिम और स्वीकार्यता

जोखिम फलन प्रत्येक प्राचल मान पर नियम के अपेक्षित नुकसान को रिकॉर्ड करता है; स्वीकार्यता यह पूछती है कि क्या कोई अन्य नियम हर जगह कम से कम उतना ही अच्छा और कहीं बेहतर प्रदर्शन करता है।

Definition

किसी निर्णय नियम का जोखिम फलन प्राचल के एक फलन के रूप में अपेक्षित नुकसान है; एक नियम अस्वीकार्य है यदि किसी अन्य नियम का जोखिम सभी प्राचल मानों के लिए बड़ा नहीं है और कम से कम एक के लिए सख्ती से छोटा है, और स्वीकार्य है यदि ऐसा कोई नियम मौजूद नहीं है।

Scope

यह विषय नुकसान फलनों और जोखिम फलन को, जोखिम प्रभुत्व द्वारा नियमों के आंशिक क्रम को, स्वीकार्य और अस्वीकार्य नियमों की परिभाषाओं को, केंद्रीय उदाहरण के रूप में तीन या अधिक आयामों में नमूना माध्य की अस्वीकार्यता को, बेयस और सीमित-बेयस तर्कों तथा स्टीन की पहचान के माध्यम से स्वीकार्यता सिद्ध करने के तरीकों को, और स्वीकार्यता तथा निष्पक्षता के बीच संबंध को शामिल करता है।

Core questions

• जोखिम फलन प्राचल स्थान में नियम के प्रदर्शन को कैसे सारांशित करता है?
• एक नियम का दूसरे पर हावी होना, और इस प्रकार एक नियम का अस्वीकार्य होना, इसका क्या अर्थ है?
• वर्ग-त्रुटि हानि के तहत तीन या अधिक आयामों में नमूना माध्य अस्वीकार्य क्यों है?
• स्वीकार्यता सिद्ध करने के लिए बेयस और सीमित-बेयस तर्कों का उपयोग कैसे किया जाता है?

Key theories

जोखिम प्रभुत्व और स्वीकार्यता

एक नियम अस्वीकार्य होता है जब किसी अन्य नियम का जोखिम समान रूप से अधिक नहीं होता और कहीं-कहीं सख्ती से कम होता है; स्वीकार्य नियम वे होते हैं जिन्हें समान रूप से सुधारा नहीं जा सकता, जो न्यूनतम इष्टतमता आवश्यकता है।

स्टीन की अस्वीकार्यता

वर्ग-त्रुटि हानि के तहत बहुभिन्नरूपी सामान्य माध्य का सामान्य अनुमानक तीन या अधिक आयामों में अस्वीकार्य है, जिस पर संकुचन अनुमानकों का प्रभुत्व है, यह परिणाम स्टीन की पहचान का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।

Clinical relevance

यह पहचानना कि एक परिचित अनुमानक अस्वीकार्य हो सकता है, उच्च-आयामी भविष्यवाणी में संकुचन (shrinkage) और नियमितीकरण (regularization) के नियमित उपयोग को उचित ठहराता है, जहाँ अनुमानों को एक सामान्य केंद्र की ओर खींचने से प्रत्येक निर्देशांक को अलग से मानने की तुलना में कुल जोखिम सिद्ध रूप से कम हो जाता है।

History

वाल्ड ने 1940 के दशक में जोखिम और स्वीकार्यता की शुरुआत की। स्टीन के 1956 के प्रमाण ने कि बहुभिन्नरूपी सामान्य माध्य अनुमानक तीन या अधिक आयामों में अस्वीकार्य है, अंतर्ज्ञान को उलट दिया और, 1961 के जेम्स-स्टीन अनुमानक के साथ, स्वीकार्यता को एक केंद्रीय चिंता बना दिया।

Key figures

• Abraham Wald
• Charles Stein
• David Blackwell
• James O. Berger

Seminal works

• lehmannCasella1998

Frequently asked questions

यदि कोई नियम स्वीकार्य है, तो क्या वह सबसे अच्छा नियम है?

नहीं। स्वीकार्यता केवल समान रूप से पराजित होने से रोकती है; कई स्वीकार्य नियम औसत दर्जे के होते हैं और एक अच्छा नियम अस्वीकार्य हो सकता है, इसलिए स्वीकार्यता इष्टतमता के लिए एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त से बहुत दूर है।

स्टीन के परिणाम के लिए आयाम तीन क्यों मायने रखता है?

वर्ग-त्रुटि हानि के तहत नमूना माध्य की अस्वीकार्यता तीन या अधिक आयामों में मान्य है लेकिन एक या दो में नहीं; तीन से कम में, संकुचन नमूना माध्य पर समान रूप से सुधार नहीं कर सकता है।