मार्कोव चेन मोंटे कार्लो
मार्कोव चेन मोंटे कार्लो एक जटिल लक्ष्य वितरण से नमूने लेता है, एक मार्कोव चेन का अनुकरण करके जिसे उस वितरण को अपनी स्थिर नियम के रूप में रखने के लिए डिज़ाइन किया गया है, ताकि चेन का पथ, एक बार अभिसरित होने के बाद, लक्ष्य से एक आश्रित नमूने की तरह व्यवहार करे।
Definition
मार्कोव चेन मोंटे कार्लो एल्गोरिदम का एक वर्ग है जो एक एर्गोडिक मार्कोव चेन का निर्माण करके एक लक्ष्य वितरण के तहत अपेक्षाओं का अनुमान लगाता है जिसकी अपरिवर्तनीय वितरण लक्ष्य है और चेन की प्राप्त अवस्थाओं पर एक फ़ंक्शन का औसत निकालता है।
Scope
यह विषय विस्तृत संतुलन, मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम और इसकी प्रस्ताव तंत्र, अभिसरण और मिश्रण निदान, बर्न-इन और ऑटोकोरिलेशन, और आश्रित ड्रॉ से मोंटे कार्लो मानक त्रुटियों के अनुमान के माध्यम से एक निर्धारित स्थिर वितरण के साथ चेन के निर्माण को शामिल करता है। गिब्स सैंपलर को एक अलग संबंधित विषय के रूप में माना जाता है, और हैमिल्टनियन और अनुकूली वेरिएंट को विस्तार के रूप में नोट किया गया है।
Core questions
- एक मार्कोव चेन का निर्माण कैसे किया जाता है ताकि उसका स्थिर वितरण एक निर्धारित लक्ष्य हो?
- मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स स्वीकार-अस्वीकार चरण मनमाने प्रस्ताव के लिए विस्तृत संतुलन कैसे लागू करता है?
- स्थिरता के अभिसरण का आकलन कैसे किया जाता है, और मिश्रण गति का निदान कैसे किया जाता है?
- ऑटोकोरिलेटेड ड्रॉ से मोंटे कार्लो मानक त्रुटियों की गणना कैसे की जाती है?
Key concepts
- स्थिर वितरण
- विस्तृत संतुलन
- स्वीकृति अनुपात
- बर्न-इन
- ऑटोकोरिलेशन और मिश्रण
- अभिसरण निदान
Key theories
- विस्तृत संतुलन और स्थिरता
- यदि एक संक्रमण कर्नेल एक लक्ष्य वितरण के संबंध में विस्तृत संतुलन को संतुष्ट करता है, तो वह वितरण स्थिर होता है; परिणामी चेन के एर्गोडिक औसत तब लक्ष्य के तहत अपेक्षाओं में अभिसरित होते हैं।
- मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम
- एक चाल का प्रस्ताव करना और लक्ष्य और प्रस्ताव घनत्व से निर्मित एक संभावना के साथ इसे स्वीकार करना लक्ष्य के संबंध में एक प्रतिवर्ती चेन उत्पन्न करता है, जिसके लिए लक्ष्य को केवल एक सामान्यीकरण स्थिरांक तक की आवश्यकता होती है।
Clinical relevance
मार्कोव चेन मोंटे कार्लो ने पदानुक्रमित और उच्च-आयामी मॉडल के लिए पूरी तरह से बायेसियन अनुमान को व्यावहारिक बना दिया, और सांख्यिकीय आनुवंशिकी, पारिस्थितिकी, महामारी विज्ञान, अर्थमिति और भौतिक विज्ञानों में लागू किया जाता है जहाँ भी पश्च या बोल्ट्ज़मान वितरणों का अन्वेषण किया जाना चाहिए लेकिन सीधे नमूना नहीं लिया जा सकता है।
History
मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम 1953 में सांख्यिकीय भौतिकी में दिखाई दिया, हेस्टिंग्स ने इसे 1970 में सामान्यीकृत किया, और 1990 के दशक की शुरुआत में सांख्यिकीविदों ने मार्कोव चेन मोंटे कार्लो को बायेसियन गणना के मानक इंजन के रूप में अपनाया, जिसे बाद में हैमिल्टनियन मोंटे कार्लो और अनुकूली सैंपलर द्वारा विस्तारित किया गया।
Debates
- अभिसरण का आकलन
- क्योंकि कोई भी सीमित रन यह साबित नहीं कर सकता कि एक चेन अपने स्थिर वितरण तक पहुंच गई है, चिकित्सक निदान और कई चेन पर भरोसा करते हैं; इस बारे में लगातार चर्चा चल रही है कि कौन से निदान विश्वसनीय हैं और बर्न-इन और रन की लंबाई कितनी रूढ़िवादी होनी चाहिए।
Key figures
- Nicholas Metropolis
- W. Keith Hastings
- Christian P. Robert
- Andrew Gelman
Related topics
Seminal works
- metropolis1953
- hastings1970
Frequently asked questions
- मार्कोव चेन मोंटे कार्लो नमूने सहसंबंधित क्यों होते हैं?
- प्रत्येक अवस्था पिछली अवस्था से उत्पन्न होती है, इसलिए लगातार ड्रॉ आश्रित होते हैं। यह ऑटोकोरिलेशन जानकारी की प्रभावी मात्रा को कम करता है, यही कारण है कि सटीकता का अनुमान लगाते समय मिश्रण गति और प्रभावी नमूना आकार मायने रखते हैं।
- बर्न-इन क्या है?
- बर्न-इन चेन का प्रारंभिक भाग है जिसे छोड़ दिया जाता है क्योंकि यह अभी भी लक्ष्य वितरण के बजाय मनमाने शुरुआती बिंदु को दर्शाता है। इसे छोड़ने से शेष ड्रॉ का औसत निकालने से पहले आरंभीकरण से होने वाले पूर्वाग्रह को कम किया जा सकता है।