एर्गोडिक सिद्धांत
एर्गोडिक सिद्धांत माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियों के दीर्घकालिक सांख्यिकीय व्यवहार का अध्ययन करता है, जिसमें प्रक्षेपवक्रों के साथ समय के औसत को पूरे स्थान पर औसत से संबंधित किया जाता है।
Definition
एर्गोडिक सिद्धांत उन परिवर्तनों का विश्लेषण करता है जो एक स्थान पर एक माप को संरक्षित करते हैं; एक प्रणाली एर्गोडिक होती है जब इसे गैर-तुच्छ अपरिवर्तनीय भागों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, ताकि अवलोकनीय के दीर्घकालिक समय औसत उनके स्थानिक औसत के बराबर हों।
Scope
यह विषय माप-संरक्षण परिवर्तनों, पॉइनकेयर पुनरावृत्ति प्रमेय, बिर्कहॉफ और वॉन न्यूमैन एर्गोडिक प्रमेय, एर्गोडिसिटी और मिश्रण, अपरिवर्तनीय माप, और गतिशील जटिलता के माप के रूप में एन्ट्रापी को शामिल करता है। यह अराजक और सांख्यिकीय गतिकी को समझने के लिए संभाव्य आधार प्रदान करता है।
Core questions
- किसी अवलोकनीय का समय औसत उसके स्थान औसत के बराबर कब होता है?
- किसी प्रणाली के एर्गोडिक या मिश्रण होने का क्या अर्थ है?
- किसी दी गई गतिकी के तहत कौन से माप अपरिवर्तनीय होते हैं?
- एन्ट्रापी द्वारा एक गतिशील प्रणाली की जटिलता को कैसे मापा जाता है?
Key theories
- बिर्कहॉफ एर्गोडिक प्रमेय
- माप-संरक्षण परिवर्तन के लिए, एक समाकलनीय अवलोकनीय के समय औसत लगभग हर जगह अभिसरित होते हैं, और वे ठीक उसी समय स्थान औसत के बराबर होते हैं जब प्रणाली एर्गोडिक होती है।
- पॉइनकेयर पुनरावृत्ति
- एक परिमित-माप-संरक्षण प्रणाली में, लगभग हर बिंदु अनंत बार अपनी प्रारंभिक स्थिति के मनमाने ढंग से करीब लौटता है, जो रूढ़िवादी गतिकी का एक मूलभूत पुनरावृत्ति गुण है।
- एन्ट्रापी और मिश्रण
- मिश्रण पुनरावृत्ति के तहत सेटों की स्पर्शोन्मुखी स्वतंत्रता की आवश्यकता के द्वारा एर्गोडिसिटी को मजबूत करता है, और कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रापी उस दर को मापती है जिस पर एक प्रणाली नई जानकारी उत्पन्न करती है।
Clinical relevance
एर्गोडिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी को समय के औसत को समूह के औसत से प्रतिस्थापित करके आधार प्रदान करता है, संख्या सिद्धांत और संभाव्यता में कठोर परिणामों का समर्थन करता है, और अराजक नियतात्मक गतिकी से उत्पन्न होने वाली सांख्यिकीय नियमितता की व्याख्या करता है।
History
एर्गोडिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी में बोल्ट्ज़मैन की एर्गोडिक परिकल्पना से उत्पन्न हुआ। बिर्कहॉफ और वॉन न्यूमैन ने 1931-1932 में बिंदुवार और माध्य एर्गोडिक प्रमेय को सिद्ध किया, जिससे इस विषय को एक कठोर आधार मिला, और कोलमोगोरोव और सिनाई ने 1950 के दशक में एन्ट्रापी की शुरुआत की, जिससे गतिशील प्रणालियों के वर्गीकरण में परिवर्तन आया।
Key figures
- George Birkhoff
- John von Neumann
- Andrey Kolmogorov
- Yakov Sinai
Related topics
Seminal works
- walters1982
- katok1995
Frequently asked questions
- सहज रूप से एर्गोडिक का क्या अर्थ है?
- एक एर्गोडिक प्रणाली वह है जो समय के साथ, उपलब्ध स्थिति स्थान को उसके माप के अनुपात में भ्रमण करती है, ताकि एक लंबी प्रक्षेपवक्र पूरे स्थान का प्रतिनिधि रूप से नमूना ले सके। तब एक कक्षा के साथ एक मात्रा का औसत पूरे स्थान पर उसके औसत के बराबर होता है।
- एर्गोडिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी से कैसे संबंधित है?
- सांख्यिकीय यांत्रिकी एक भौतिक प्रणाली के गणना-कठिन समय औसत को राज्यों के एक समूह पर औसत से प्रतिस्थापित करती है। एर्गोडिसिटी वह गुण है जो इस प्रतिस्थापन को उचित ठहराएगा, यही कारण है कि बोल्ट्ज़मैन की एर्गोडिक परिकल्पना ने पूरे क्षेत्र को प्रेरित किया।