अनुक्रम और श्रेणियाँ
अनुक्रम और श्रेणियाँ यह सटीक रूप से बताती हैं कि संख्याओं की एक अनंत सूची के लिए एक सीमा तक पहुँचना और एक अनंत योग के लिए एक परिमित मान होना क्या मायने रखता है, जो विश्लेषण के पहले कठोर विचार हैं।
Definition
एक अनुक्रम वास्तविक संख्याओं की एक क्रमित अनंत सूची है; यह एक सीमा तक अभिसरित होता है यदि इसके पद अंततः उस सीमा के मनमाने ढंग से करीब रहते हैं। एक श्रेणी एक अनंत योग के आंशिक योगों का अनुक्रम है, और यह तब अभिसरित होती है जब आंशिक योगों का वह अनुक्रम अभिसरित होता है।
Scope
यह विषय अभिसारी और कॉशी अनुक्रमों, ऊपरी और निचली सीमा, एकदिष्ट और परिबद्ध अनुक्रमों, अनंत श्रेणियों के अभिसरण और मानक अभिसरण परीक्षणों, निरपेक्ष बनाम सशर्त अभिसरण और पुनर्व्यवस्था, और बिंदुवार और एकसमान अभिसरण और घात श्रेणियों के साथ फलनों के अनुक्रमों और श्रेणियों को शामिल करता है।
Core questions
- एक अनुक्रम के अभिसरित होने का कठोर अर्थ क्या है, और वास्तविक संख्याओं पर कॉशी मानदंड समतुल्य क्यों है?
- कौन से परीक्षण यह तय करते हैं कि एक अनंत श्रेणी अभिसरित होती है या नहीं?
- सशर्त अभिसरण पुनर्व्यवस्थाओं को योग को बदलने की अनुमति कैसे देता है?
- फलनों की एक श्रेणी को पद-दर-पद कब अवकलित या समाकलित किया जा सकता है?
Key theories
- अभिसरण के लिए कॉशी मानदंड
- वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम अभिसरित होता है यदि और केवल यदि यह कॉशी है, जिसका अर्थ है कि इसके पद एक-दूसरे के मनमाने ढंग से करीब हो जाते हैं; यह समतुल्यता पूर्णता पर निर्भर करती है और सीमा को जाने बिना अभिसरण की जाँच करने देती है।
- रीमैन पुनर्व्यवस्था प्रमेय
- वास्तविक संख्याओं की एक सशर्त रूप से अभिसारी श्रेणी को किसी भी निर्धारित मान तक अभिसरित करने या अपसरित होने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, यह दर्शाता है कि जब अभिसरण निरपेक्ष नहीं होता है तो क्रम मायने रखता है।
- वेइरस्ट्रास M-परीक्षण
- यदि फलनों की एक श्रेणी का प्रत्येक पद एक स्थिरांक द्वारा आकार में परिबद्ध है जिसकी श्रेणी अभिसरित होती है, तो फलनों की श्रेणी एकसमान रूप से अभिसरित होती है, जो एकसमान अभिसरण के लिए मानक पर्याप्त शर्त है।
Clinical relevance
अनुक्रम और श्रेणियाँ फलनों और स्थिरांकों के संख्यात्मक सन्निकटन, पुनरावृत्तीय एल्गोरिदम के अभिसरण विश्लेषण, अनुप्रयुक्त गणित में उपयोग किए जाने वाले घात-श्रेणी और टेलर विस्तार, और भौतिकी और इंजीनियरिंग में विशेष फलनों और रूपांतरणों की परिभाषा को रेखांकित करती हैं।
History
अनंत योगों के अभिसरण को 1820 के दशक में कॉशी द्वारा सीमा और अभिसरण की सटीक परिभाषाएँ दिए जाने तक अनुमानी रूप से संभाला गया था। वेइरस्ट्रास ने बाद में सदी में एकसमान अभिसरण और M-परीक्षण को स्पष्ट किया, और रीमैन के पुनर्व्यवस्था प्रमेय ने सशर्त अभिसरण की सूक्ष्मता को उजागर किया।
Key figures
- Augustin-Louis Cauchy
- Karl Weierstrass
- Bernhard Riemann
Related topics
Seminal works
- rudin1976
- abbott2015
Frequently asked questions
- फलनों के बिंदुवार और एकसमान अभिसरण में क्या अंतर है?
- बिंदुवार अभिसरण का अर्थ है कि मान प्रत्येक निश्चित बिंदु पर अलग-अलग अभिसरित होते हैं; एकसमान अभिसरण के लिए दृष्टिकोण की एक ही दर की आवश्यकता होती है जो एक साथ सभी बिंदुओं के लिए काम करती है, जो निरंतरता को बनाए रखती है और पद-दर-पद समाकलन की अनुमति देती है।
- निरपेक्ष अभिसरण क्यों मायने रखता है?
- एक निरपेक्ष रूप से अभिसारी श्रेणी को उसके योग को बदले बिना स्वतंत्र रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, जबकि एक सशर्त रूप से अभिसारी श्रेणी को नहीं किया जा सकता है, इसलिए निरपेक्ष अभिसरण अनंत योगों में हेरफेर के लिए सुरक्षित व्यवस्था है।