गाऊसी चतुर्भुज

गाऊसी चतुर्भुज एक चतुर्भुज नियम के नोड्स और भार दोनों का चयन करता है ताकि उसकी बहुपद यथार्थता की डिग्री को अधिकतम किया जा सके, केवल n फलन मूल्यांकनों के साथ 2n-1 डिग्री के बहुपदों को सटीक रूप से एकीकृत किया जा सके।

Definition

गाऊसी चतुर्भुज चतुर्भुज नियमों का एक परिवार है जिसके नोड्स एक भार फलन से जुड़े ऑर्थोगोनल बहुपदों की जड़ें हैं, जिन्हें दिए गए नोड्स की संख्या के लिए यथार्थता की अधिकतम संभव डिग्री प्राप्त करने के लिए उनके भार के साथ चुना जाता है।

Scope

यह विषय ऑर्थोगोनल बहुपदों की जड़ों से गाऊसी नियमों के निर्माण, गाउस-लीजेंड्रे नियम और भारित वेरिएंट (गाउस-चेबीशेव, गाउस-हर्माइट, गाउस-लैगुएरे), नोड्स और भार की गणना के लिए गोलूब-वेल्श आइगेनवैल्यू एल्गोरिथम, और व्यावहारिक त्रुटि अनुमान के लिए उपयोग किए जाने वाले गाउस-क्रोनरोड एक्सटेंशन को शामिल करता है।

Core questions

• ऑर्थोगोनल बहुपदों की जड़ों पर नोड्स रखने से निश्चित-नोड नियमों की तुलना में यथार्थता की डिग्री दोगुनी कैसे हो जाती है?
• दिए गए भार फलन के लिए नोड्स और भार की सटीक गणना कैसे की जाती है?
• भारित गाऊसी नियम विलक्षण या अनंत-डोमेन भार फलनों वाले समाकलों को कैसे संभालते हैं?
• विश्वसनीय त्रुटि अनुमान कैसे प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए गाउस-क्रोनरोड युग्मों के माध्यम से?

Key theories

यथार्थता की अधिकतम डिग्री

एक n-बिंदु चतुर्भुज नियम 2n-1 डिग्री तक के बहुपदों के लिए सटीक हो सकता है, और यह अधिकतम तभी प्राप्त होता है जब नोड्स भार फलन के लिए डिग्री-n ऑर्थोगोनल बहुपद की जड़ें हों, जिसमें सभी भार धनात्मक हों।

गोलूब-वेल्श एल्गोरिथम

एक गाऊसी नियम के नोड्स और भार ऑर्थोगोनल बहुपदों के पुनरावृत्ति गुणांकों से बने सममित त्रि-विकर्ण जैकोबी मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू और वर्गित पहले आइगेनवेक्टर घटकों के रूप में प्राप्त होते हैं, जो चतुर्भुज निर्माण को एक आइगेनवैल्यू गणना में बदल देता है।

Mechanisms

ऑर्थोगोनल बहुपद एक तीन-पद पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं जिसके गुणांक एक सममित त्रि-विकर्ण जैकोबी मैट्रिक्स को भरते हैं; गोलूब-वेल्श एल्गोरिथम इसके आइगेनवैल्यू (चतुर्भुज नोड्स) की गणना करता है और भार को पुनर्प्राप्त करने के लिए आइगेनवेक्टरों के पहले घटकों का उपयोग करता है, यह सब स्थिर रूप से। भार फलन को बदलने से — अंतर्निहित विलक्षणताओं वाले या अर्ध-रेखा या पूरी रेखा पर समर्थित एक में — गाउस-चेबीशेव, गाउस-लैगुएरे, या गाउस-हर्माइट नियम प्राप्त होते हैं जो विश्लेषणात्मक रूप से कठिन व्यवहार को अवशोषित करते हैं। गाउस-क्रोनरोड नियम गाउस नोड्स का पुन: उपयोग करते हैं और इंटरलेसिंग नोड्स जोड़ते हैं ताकि एक उच्च-क्रम अनुमान, और इस प्रकार एक त्रुटि अनुमान, मामूली अतिरिक्त लागत पर प्राप्त किया जा सके।

Clinical relevance

गाऊसी चतुर्भुज परिमित-तत्व विश्लेषण में तत्व और कठोरता समाकलों का मूल्यांकन करने के लिए, सांख्यिकी और अनिश्चितता परिमाणीकरण में संभाव्यता भार फलनों के विरुद्ध क्षणों और अपेक्षाओं की गणना करने के लिए, और भौतिकी और इंजीनियरिंग में चिकने समाकलों के उच्च-सटीकता मूल्यांकन के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण है, जहाँ महंगे समाकल्य मूल्यांकनों की संख्या को कम करना सर्वोपरि है।

History

गाउस ने 1814 में अपने इष्टतम चतुर्भुज को व्युत्पन्न किया; जैकोबी ने इसे ऑर्थोगोनल बहुपदों से जोड़ा, और आधुनिक कम्प्यूटेशनल उपचार 1969 के गोलूब-वेल्श एल्गोरिथम द्वारा स्थापित किया गया, जिसने नोड्स और भार को नियमित रूप से गणना योग्य बनाया और गाऊसी नियमों को मानक संख्यात्मक पुस्तकालयों में लाया।

Key figures

• Carl Friedrich Gauss
• Carl Gustav Jacob Jacobi
• Gene H. Golub
• Walter Gautschi

Seminal works

• davis1984
• gautschi2004

Frequently asked questions

n बिंदु 2n-1 डिग्री के बहुपद को सटीक रूप से कैसे एकीकृत कर सकते हैं?

चूंकि n नोड्स और n भार दोनों स्वतंत्र पैरामीटर हैं, इसलिए 2n स्वतंत्रता की डिग्री हैं, जो 2n आधार बहुपदों (0 से 2n-1 डिग्री तक) के समाकलों से मेल खाने के लिए पर्याप्त हैं। नोड्स को ऑर्थोगोनल-बहुपद जड़ों पर रखने से ठीक यही प्राप्त होता है।

व्यवहार में गाऊसी नियम की सटीकता की जाँच कैसे की जाती है?

एक सामान्य दृष्टिकोण गाउस-क्रोनरोड युग्म है, जो एक गाउस नियम को अतिरिक्त नोड्स के साथ बढ़ाता है ताकि उच्च-क्रम अनुमान उत्पन्न हो सके; दोनों अनुमानों के बीच का अंतर अनुकूली इंटीग्रेटरों द्वारा उपयोग किए जाने वाले एक व्यावहारिक त्रुटि अनुमान के रूप में कार्य करता है।