न्यूटन-कोट्स क्वाड्रैचर

न्यूटन-कोट्स नियम समान दूरी वाले बिंदुओं पर समाकल्य (integrand) को अंतर्वेशित (interpolates) करने वाले बहुपद को समाकलित करके एक समाकल (integral) का अनुमान लगाते हैं, जिससे ट्रेपेज़ॉइडल और सिम्पसन के नियमों जैसे परिचित सूत्र प्राप्त होते हैं।

Definition

एक न्यूटन-कोट्स क्वाड्रैचर नियम एक अंतर्वेशी क्वाड्रैचर नियम है जिसके नोड एकीकरण अंतराल में समान दूरी पर होते हैं, जिसमें संबंधित अंतर्वेशी बहुपद को समाकलित करके भार प्राप्त किए जाते हैं।

Scope

यह विषय बंद और खुले न्यूटन-कोट्स सूत्रों, उनकी यथार्थता की डिग्री और त्रुटि पदों, अंतराल को उपविभाजित करके प्राप्त समग्र ट्रेपेज़ॉइडल और सिम्पसन नियमों, रिचर्डसन एक्स्ट्रापोलेशन के माध्यम से रोम्बर्ग एकीकरण, और उच्च-क्रम न्यूटन-कोट्स नियमों की अस्थिरता को शामिल करता है जो उनकी व्यावहारिक डिग्री को सीमित करता है।

Core questions

• ट्रेपेज़ॉइडल और सिम्पसन के नियम एकीकृत अंतर्वेशी के रूप में कैसे प्राप्त होते हैं?
• इन नियमों की त्रुटि पद क्या हैं, और सिम्पसन का नियम समरूपता से एक अतिरिक्त क्रम क्यों प्राप्त करता है?
• समग्र नियम और रोम्बर्ग एक्स्ट्रापोलेशन व्यवस्थित रूप से सटीकता में कैसे सुधार करते हैं?
• उच्च-क्रम न्यूटन-कोट्स नियम अस्थिर क्यों हो जाते हैं, और उनका उपयोग क्या सीमित करता है?

Key theories

यथार्थता की डिग्री और त्रुटि पद

ट्रेपेज़ॉइडल नियम रैखिक समाकल्यों के लिए सटीक है जिसमें त्रुटि दूसरे व्युत्पन्न के समानुपाती होती है, जबकि सिम्पसन का नियम, समरूपता से, क्यूबिक्स के लिए सटीक है जिसमें त्रुटि चौथे व्युत्पन्न के समानुपाती होती है, जो इसकी अंतर्वेशन डिग्री से परे एक क्रम प्राप्त करता है।

समग्र नियम और रोम्बर्ग एकीकरण

कई उप-अंतरालों पर एक मूल नियम लागू करने से एक समग्र नियम प्राप्त होता है जिसकी त्रुटि चरण आकार में बहुपद रूप से घटती है; समग्र ट्रेपेज़ॉइडल नियम का रिचर्डसन एक्स्ट्रापोलेशन तेजी से अभिसारी रोम्बर्ग योजना उत्पन्न करता है।

Mechanisms

प्रत्येक मूल नियम समान दूरी वाले अंतर्वेशी को सटीक रूप से समाकलित करता है: ट्रेपेज़ॉइडल नियम एक सीधी-रेखा फिट को समाकलित करता है, सिम्पसन का नियम एक परवलय को। समग्र नियम अंतराल को विभाजित करते हैं और प्रत्येक खंड पर मूल नियमों को जोड़ते हैं, इसलिए चरण आकार को आधा करने से त्रुटि अनुमानित रूप से कम हो जाती है। रोम्बर्ग एकीकरण उत्तरोत्तर आधे चरण आकार पर समग्र ट्रेपेज़ॉइडल अनुमानों को सारणीबद्ध करता है और बार-बार रिचर्डसन एक्स्ट्रापोलेशन लागू करता है, जिससे चिकने समाकल्यों के लिए उच्च-क्रम सटीकता प्राप्त करने के लिए अग्रणी त्रुटि पदों को रद्द कर दिया जाता है। उच्च-क्रम एकल-अंतराल न्यूटन-कोट्स नियम मिश्रित चिह्न के बड़े दोलनशील भार प्राप्त करते हैं, जो रनगे घटना (Runge phenomenon) को दर्शाता है, जिससे रद्दीकरण और अस्थिरता होती है।

Clinical relevance

न्यूटन-कोट्स नियम, विशेष रूप से समग्र ट्रेपेज़ॉइडल और सिम्पसन रूप, डिफ़ॉल्ट कम लागत वाले क्वाड्रैचर उपकरण हैं जब समाकल्य नमूने स्वाभाविक रूप से समान दूरी पर होते हैं — उदाहरण के लिए सारणीबद्ध प्रायोगिक डेटा, समय-श्रृंखला एकीकरण, और सरल सिमुलेशन पोस्ट-प्रोसेसिंग — और रोम्बर्ग एकीकरण न्यूनतम कोडिंग के साथ चिकने कार्यों के लिए सटीक परिणाम प्रदान करता है।

History

ये नियम अठारहवीं शताब्दी की शुरुआत में न्यूटन और कोट्स के साथ और थॉमस सिम्पसन के साथ उत्पन्न हुए, जिनके नियम का नाम उनके नाम पर है; वर्नर रोम्बर्ग की 1955 की एक्स्ट्रापोलेशन योजना ने प्रारंभिक ट्रेपेज़ॉइडल नियम को एक उच्च-सटीकता विधि में बदल दिया और एक मानक शिक्षण और कंप्यूटिंग उपकरण बना हुआ है।

Key figures

• Isaac Newton
• Roger Cotes
• Thomas Simpson
• Werner Romberg

Seminal works

• davis1984
• quarteroni2007

Frequently asked questions

सिम्पसन का नियम ट्रेपेज़ॉइडल नियम से अधिक सटीक क्यों है?

सिम्पसन का नियम दो बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा के बजाय तीन बिंदुओं के माध्यम से एक परवलय को फिट करता है, और समरूपता के कारण यह क्यूबिक बहुपदों को सटीक रूप से समाकलित करता है, इसलिए इसकी त्रुटि चौथे व्युत्पन्न पर निर्भर करती है और चरण आकार घटने पर बहुत तेजी से सिकुड़ती है।

केवल एक बहुत उच्च-क्रम न्यूटन-कोट्स नियम का उपयोग क्यों नहीं किया जाता है?

समान दूरी वाले नोड्स पर उच्च-क्रम न्यूटन-कोट्स नियम वैकल्पिक चिह्नों के साथ बड़े भार विकसित करते हैं, जिससे संख्यात्मक रद्दीकरण और अस्थिरता होती है। व्यवहार में कोई समग्र निम्न-क्रम नियमों, रोम्बर्ग एक्स्ट्रापोलेशन, या गॉसियन क्वाड्रैचर का उपयोग करता है।