संख्यात्मक समाकलन
संख्यात्मक समाकलन, या क्वाड्रैचर, फलन मानों के भारित योगों द्वारा निश्चित समाकलनों का अनुमान लगाता है, जब एक प्रतिअवकलज अनुपलब्ध हो या समाकल्य केवल नमूना बिंदुओं पर ज्ञात हो, तो सटीक मान प्रदान करता है।
Definition
संख्यात्मक समाकलन एक निश्चित समाकलन का एक परिमित भारित समाकल्य मानों के संयोजन द्वारा अनुमान है, जिसे क्वाड्रैचर नियम कहा जाता है, साथ ही इसकी सटीकता का विश्लेषण भी।
Scope
यह क्षेत्र बहुपद अंतर्वेशकों (न्यूटन-कोट्स) को एकीकृत करके निर्मित अंतर्वेशी क्वाड्रैचर नियमों, ऑर्थोगोनल बहुपदों पर आधारित इष्टतम-डिग्री गॉसियन नियमों, समग्र और अनुकूली योजनाओं को शामिल करता है जो त्रुटि को स्वचालित रूप से नियंत्रित करते हैं, और त्रुटि विश्लेषण जो सटीकता और अभिसरण को नियंत्रित करता है; बहुआयामी समाकलन को इन एक-आयामी नींवों के विस्तार के रूप में माना जाता है।
Sub-topics
Core questions
- बहुपद अंतर्वेशन से क्वाड्रैचर नियम कैसे निर्मित होते हैं, और उनकी सटीकता क्या निर्धारित करती है?
- एक नियम की यथार्थता की डिग्री क्या है, और गॉसियन नियम दिए गए बिंदुओं की संख्या के लिए इसे कैसे अधिकतम करते हैं?
- समग्र और अनुकूली रणनीतियाँ एक अंतराल में त्रुटि को कैसे नियंत्रित करती हैं?
- समाकल्य की चिकनाई एक क्वाड्रैचर नियम की अभिसरण दर को कैसे नियंत्रित करती है?
Key theories
- अंतर्वेशी क्वाड्रैचर
- चयनित नोड्स पर समाकल्य को अंतर्वेशित करने वाले बहुपद को एकीकृत करने से एक क्वाड्रैचर नियम प्राप्त होता है जिसके भार लैग्रेंज आधार फलनों के समाकलन होते हैं; यह नियम अंतर्वेशन डिग्री तक के सभी बहुपदों के लिए सटीक होता है।
- गॉसियन क्वाड्रैचर और ऑर्थोगोनल बहुपद
- नोड्स को ऑर्थोगोनल बहुपदों के मूल के रूप में चुनने से एक n-बिंदु नियम उत्पन्न होता है जो 2n-1 डिग्री तक के बहुपदों के लिए सटीक होता है, जो अधिकतम संभव है, इष्टतम क्वाड्रैचर को ऑर्थोगोनल बहुपदों के सिद्धांत से जोड़ता है।
- अनुकूली त्रुटि नियंत्रण
- विभिन्न क्रमों के नियमों से या परिष्कृत उपविभाजनों से अनुमानों की तुलना करने से एक त्रुटि अनुमान प्राप्त होता है जो स्वचालित उपविभाजन को संचालित करता है, जहाँ समाकल्य तेजी से बदलता है वहाँ प्रयास केंद्रित करता है।
Clinical relevance
क्वाड्रैचर की आवश्यकता वहाँ होती है जहाँ समाकलनों का मूल्यांकन बंद रूप में नहीं किया जा सकता है: प्रायिकता और सांख्यिकी में अपेक्षाओं और सामान्यीकरण स्थिरांकों की गणना करना, परिमित-तत्व विधियों में तत्व समाकलनों का मूल्यांकन करना, भौतिकी सिमुलेशन में विकिरण और बल योगदानों का योग करना, और कम्प्यूटेशनल वित्त में उपकरणों का मूल्य निर्धारण करना; नियम का चुनाव (अक्सर महंगे) समाकल्य मूल्यांकनों की संख्या के मुकाबले सटीकता का व्यापार करता है।
History
शास्त्रीय अंतर्वेशी नियम न्यूटन और कोट्स के समय से चले आ रहे हैं, जबकि गॉस ने 1814 में अपना इष्टतम-डिग्री क्वाड्रैचर प्रस्तुत किया; कंप्यूटर युग ने स्वचालित अनुकूली एल्गोरिदम और उच्च-गुणवत्ता वाली सॉफ्टवेयर लाइब्रेरीज़ को जोड़ा, और कठिन समाकल्यों के लिए क्वाड्रैचर की कंडीशनिंग और स्थिरता पर नए सिरे से ध्यान दिया।
Key figures
- Carl Friedrich Gauss
- Isaac Newton
- Roger Cotes
- Philip J. Davis
Related topics
Seminal works
- davis1984
- quarteroni2007
Frequently asked questions
- प्रतिअवकलज ज्ञात करने के बजाय संख्यात्मक समाकलन की आवश्यकता कब होती है?
- कई समाकल्यों का कोई प्रतिअवकलज प्राथमिक फलनों में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और व्यवहार में समाकल्य केवल डेटा के रूप में या एक सिमुलेशन के आउटपुट के रूप में उपलब्ध हो सकता है। दोनों ही मामलों में एक क्वाड्रैचर नियम फलन मानों से सीधे समाकलन का अनुमान लगाता है।
- गॉसियन क्वाड्रैचर इतना कुशल क्यों है?
- नोड्स और भार दोनों को इष्टतम रूप से रखकर, एक n-बिंदु गॉसियन नियम 2n-1 डिग्री तक के बहुपदों को सटीक रूप से एकीकृत करता है — समान संख्या में बिंदुओं वाले न्यूटन-कोट्स नियम की डिग्री का दोगुना — इसलिए यह चिकने समाकल्यों के लिए कम फलन मूल्यांकनों के साथ उच्च सटीकता प्राप्त करता है।