बहुपद अंतर्वेशन

बहुपद अंतर्वेशन n+1 दिए गए डेटा बिंदुओं से होकर गुजरने वाले अधिकतम n घात के अद्वितीय बहुपद का निर्माण करता है, जो फलनों के अवकलन, समाकलन और सन्निकटन के लिए एक आधार प्रदान करता है।

Definition

बहुपद अंतर्वेशन सबसे कम घात के बहुपद का निर्धारण है जो अंतर्वेशन नोड्स नामक बिंदुओं के दिए गए सेट पर निर्धारित मानों (और संभवतः व्युत्पन्न) से सहमत होता है।

Scope

यह विषय अंतर्वेशी बहुपद के अस्तित्व और अद्वितीयता, लैग्रेंज और न्यूटन विभाजित-अंतर निरूपण, स्थिर मूल्यांकन के लिए उपयोग किए जाने वाले बैरीसेंट्रिक रूप, अंतर्वेशन त्रुटि सूत्र, और रंगे परिघटना को शामिल करता है जो चेबिशेव बिंदु वितरणों को प्रेरित करता है।

Core questions

• n+1 विशिष्ट बिंदुओं से होकर गुजरने वाला अंतर्वेशी बहुपद अद्वितीय क्यों है, और इसे कैसे दर्शाया जाता है?
• लैग्रेंज और न्यूटन रूपों की तुलना कैसे की जाती है, और मूल्यांकन के लिए बैरीसेंट्रिक रूप को क्यों पसंद किया जाता है?
• अंतर्वेशन त्रुटि सूत्र सटीकता के बारे में क्या कहता है, और नोड प्लेसमेंट इसे कैसे प्रभावित करता है?
• समान दूरी वाले बिंदुओं पर अंतर्वेशन उच्च घातों के लिए विफल क्यों होता है, और चेबिशेव नोड्स इसे कैसे ठीक करते हैं?

Key theories

अस्तित्व और अद्वितीयता

n+1 विशिष्ट नोड्स के लिए अधिकतम n घात का केवल एक बहुपद होता है जो निर्धारित मानों से मेल खाता है, जो वेंडरमोंडे प्रणाली की गैर-एकल प्रकृति का परिणाम है; लैग्रेंज और न्यूटन रूप इस समान बहुपद के दो रचनात्मक निरूपण देते हैं।

अंतर्वेशन त्रुटि और नोड का चुनाव

अंतर्वेशन त्रुटि नोडल बहुपद के n+1 क्रम का विभाजित अंतर है; नोडल बहुपद के अधिकतम को कम करना चेबिशेव नोड्स के चुनाव को प्रेरित करता है, जो रंगे परिघटना को दबाते हैं और लगभग इष्टतम सटीकता प्रदान करते हैं।

Mechanisms

न्यूटन रूप विभाजित अंतरों का उपयोग करके अंतर्वेशी को वृद्धिशील रूप से बनाता है, इसलिए एक नोड जोड़ने के लिए केवल एक अतिरिक्त पद की आवश्यकता होती है। बैरीसेंट्रिक रूप पूर्व-गणना किए गए भारों के साथ लैग्रेंज अंतर्वेशी को फिर से लिखता है, जिससे अंतर्वेशी को प्रति बिंदु रैखिक समय में उत्कृष्ट संख्यात्मक स्थिरता के साथ मूल्यांकन किया जा सकता है। त्रुटि सूत्र फलन और अंतर्वेशी के बीच के अंतर को एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न और नोड्स की दूरियों के गुणनफल के माध्यम से व्यक्त करता है, जो आंतरिक भाग में छोटा और समदूरस्थ नोड्स के सिरों के पास बड़ा होता है - रंगे परिघटना का स्रोत - लेकिन चेबिशेव नोड्स के लिए समान रूप से सीमित होता है।

Clinical relevance

बहुपद अंतर्वेशन संख्यात्मक अवकलन और समाकलन सूत्रों के लिए, क्वाड्रैचर और परिमित-अंतर स्टेंसिल के निर्माण के लिए, स्पेक्ट्रल विधियों के लिए, और सारणीबद्ध फलनों के मूल्यांकन के लिए एक मूलभूत निर्माण खंड है; इसका त्रुटि विश्लेषण यह बताता है कि सटीक पुनर्निर्माण के लिए डेटा को कितनी सघनता से और कहाँ नमूना करना है।

History

अंतर्वेशन सूत्र न्यूटन और लैग्रेंज के समय के हैं, लेकिन आधुनिक समझ को रंगे के 1901 के उदाहरण से तेज किया गया था जिसमें समदूरस्थ बिंदुओं पर विचलन दिखाया गया था और बीसवीं सदी की इस मान्यता से कि चेबिशेव नोड्स और स्थिर बैरीसेंट्रिक सूत्र उच्च-घात अंतर्वेशन को सटीक और व्यावहारिक दोनों बनाते हैं।

Key figures

• Joseph-Louis Lagrange
• Isaac Newton
• Carl Runge
• Pafnuty Chebyshev

Seminal works

• trefethen2013
• powell1981

Frequently asked questions

क्या उच्च-घात वाला अंतर्वेशी बहुपद हमेशा अधिक सटीक होता है?

आवश्यक नहीं। समान दूरी वाले नोड्स के साथ, घात बढ़ाने से अंतराल के सिरों के पास बड़े दोलन (रंगे परिघटना) हो सकते हैं और सटीकता कम हो सकती है। चेबिशेव-वितरित नोड्स या खंडशः (स्प्लाइन) अंतर्वेशन का उपयोग विश्वसनीय अभिसरण को बहाल करता है।

व्यवहार में अंतर्वेशी के किस निरूपण का उपयोग किया जाना चाहिए?

बैरीसेंट्रिक रूप को आम तौर पर पसंद किया जाता है: एक बार जब इसके भारों की गणना हो जाती है, तो यह अंतर्वेशी का तेजी से मूल्यांकन करता है और संख्यात्मक रूप से स्थिर होता है, वेंडरमोंडे प्रणाली को सीधे हल करने के विपरीत, जो खराब-स्थित होता है।