चेबीशेव और मिनिमैक्स सन्निकटन
मिनिमैक्स सन्निकटन उस सन्निकटन की तलाश करता है जिसकी सबसे बड़ी त्रुटि यथासंभव छोटी हो, जिससे एक समान सटीकता की गारंटी मिलती है; चेबीशेव बहुपद और रेमेज़ एल्गोरिथम ऐसे सर्वोत्तम समान सन्निकटन की गणना और समझने के लिए केंद्रीय उपकरण हैं।
Definition
मिनिमैक्स सन्निकटन उस सन्निकटन का निर्धारण है जो डोमेन पर अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करता है, और चेबीशेव सन्निकटन चेबीशेव बहुपदों के इर्द-गिर्द निर्मित सिद्धांत और विधियों का समूह है जो इस सर्वोत्तम समान फिट को प्रदान करता है या उसके करीब पहुंचता है।
Scope
यह विषय अधिकतम मानदंड में सर्वोत्तम समान (मिनिमैक्स) सन्निकटन, चेबीशेव समदोलन प्रमेय, चेबीशेव बहुपदों और चेबीशेव अंतर्वेशन की भूमिका और निकट-इष्टतमता, और मिनिमैक्स बहुपद और परिमेय सन्निकटन की गणना के लिए रेमेज़ विनिमय एल्गोरिथम को शामिल करता है।
Core questions
- सर्वोत्तम समान सन्निकटन की क्या विशेषता है, और यह अद्वितीय क्यों है?
- चेबीशेव बहुपद निकट-इष्टतम बहुपद सन्निकटन के लिए केंद्रीय क्यों हैं?
- रेमेज़ एल्गोरिथम पुनरावृत्त रूप से वास्तविक मिनिमैक्स सन्निकटन की गणना कैसे करता है?
- मिनिमैक्स फिट न्यूनतम-वर्ग फिट से कब बेहतर होता है, और किस कम्प्यूटेशनल लागत पर?
Key theories
- समदोलन प्रमेय
- अधिकतम n डिग्री का एक बहुपद एक सतत फलन का सर्वोत्तम समान सन्निकटन होता है यदि और केवल यदि इसकी त्रुटि कम से कम n+2 बिंदुओं पर वैकल्पिक चिह्नों के साथ अपनी अधिकतम परिमाण प्राप्त करती है; यह विशेषता सर्वोत्तम सन्निकटन को अद्वितीय और गणना योग्य बनाती है।
- चेबीशेव सन्निकटन की निकट-इष्टतमता
- चेबीशेव बिंदुओं पर चेबीशेव बहुपदों में अंतर्वेशन या विस्तार ऐसे सन्निकटन उत्पन्न करता है जिनकी अधिकतम त्रुटि सर्वोत्तम संभव के एक छोटे, लघुगणकीय रूप से बढ़ते कारक के भीतर होती है, इसलिए चेबीशेव विधियाँ वास्तविक मिनिमैक्स फिट्स के लिए एक सस्ता विकल्प प्रदान करती हैं।
- रेमेज़ विनिमय एल्गोरिथम
- रेमेज़ एल्गोरिथम समदोलन स्थिति को लागू करने के लिए संदर्भ बिंदुओं के एक उम्मीदवार सेट को पुनरावृत्त रूप से समायोजित करता है, जो सटीक सर्वोत्तम बहुपद या परिमेय मिनिमैक्स सन्निकटन में तेजी से परिवर्तित होता है।
Mechanisms
रेमेज़ एल्गोरिथम समदोलन बिंदुओं के एक अनुमान के साथ शुरू होता है, एक छोटी रैखिक प्रणाली को हल करता है ताकि त्रुटि उस संदर्भ सेट पर समान परिमाण और वैकल्पिक चिह्न के साथ समदोलित हो, फिर संदर्भ बिंदुओं को नए त्रुटि एक्सट्रीमा में स्थानांतरित करता है और दोहराता है; यह प्रक्रिया मिनिमैक्स समाधान में द्विघात रूप से परिवर्तित होती है। इसके बजाय चेबीशेव सन्निकटन चेबीशेव बहुपदों में फ़ंक्शन का विस्तार करता है — जो तीव्र फूरियर रूपांतरण के माध्यम से कुशलता से गणना योग्य है — बिना पुनरावृत्ति के निकट-सर्वोत्तम सटीकता प्राप्त करने के लिए उनके न्यूनतम सुप-मानदंड गुण का फायदा उठाता है।
Clinical relevance
मिनिमैक्स और चेबीशेव सन्निकटन का उपयोग गणितीय पुस्तकालयों में प्राथमिक-फ़ंक्शन रूटीन बनाने, समान आवृत्ति-प्रतिक्रिया त्रुटि के साथ डिजिटल फिल्टर डिजाइन करने, और एम्बेडेड और वास्तविक समय की गणना के लिए कॉम्पैक्ट, समान रूप से सटीक सन्निकटन बनाने के लिए किया जाता है जहां औसत त्रुटि की तुलना में सबसे खराब स्थिति की त्रुटि सीमा अधिक मायने रखती है।
History
यह सिद्धांत चेबीशेव के उन्नीसवीं सदी के सर्वोत्तम समान सन्निकटन और समदोलन सिद्धांत के अध्ययन से उत्पन्न हुआ है; एवगेनी रेमेज़ ने 1930 के दशक में अपना विनिमय एल्गोरिथम तैयार किया, और चेबीशेव-आधारित गणना बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में संख्यात्मक सॉफ्टवेयर का एक व्यावहारिक मुख्य आधार बन गई, विशेष रूप से आधुनिक प्रणालियों में स्वचालित-विभेदन-मुक्त चेबीशेव तकनीक के माध्यम से।
Key figures
- Pafnuty Chebyshev
- Evgeny Remez
- Lloyd N. Trefethen
Related topics
Seminal works
- trefethen2013
- powell1981
- cheney1966
Frequently asked questions
- सहज रूप से समदोलन का क्या अर्थ है?
- इसका अर्थ है कि सर्वोत्तम समान सन्निकटन अपनी त्रुटि को इस प्रकार वितरित करता है कि त्रुटि वक्र बार-बार अपनी अधिकतम ऊंचाई को छूता है, पर्याप्त बिंदुओं पर धनात्मक और ऋणात्मक के बीच वैकल्पिक होता है। किसी अन्य उम्मीदवार में सुधार किया जा सकता है, इसलिए यह संतुलित त्रुटि पैटर्न इष्टतमता का संकेत देता है।
- सटीक मिनिमैक्स बहुपद के बजाय चेबीशेव अंतर्वेशन का उपयोग क्यों करें?
- सटीक मिनिमैक्स बहुपद की गणना के लिए पुनरावृत्त रेमेज़ एल्गोरिथम की आवश्यकता होती है, जबकि चेबीशेव अंतर्वेशन तेज़ और गैर-पुनरावृत्त होता है और सर्वोत्तम संभव त्रुटि के एक छोटे कारक के भीतर आता है, इसलिए यह आमतौर पर व्यावहारिक विकल्प होता है।