बेयस प्रमेय और पश्च वितरण

बेयस प्रमेय अज्ञात प्राचलों (parameters) के पश्च वितरण (posterior distribution) को डेटा की संभाव्यता (likelihood) और पूर्व वितरण (prior) के गुणनफल के समानुपाती के रूप में व्यक्त करता है, जो सभी बेयसियन अनुमान (Bayesian inference) का आधार है।

Definition

बेयस प्रमेय कहता है कि पश्च घनत्व p(theta | y) संभाव्यता p(y | theta) और पूर्व p(theta) के गुणनफल को सीमांत संभाव्यता p(y) से विभाजित करने के बराबर है; चूंकि p(y) थीटा पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए पश्च वितरण को अक्सर संभाव्यता और पूर्व के गुणनफल के समानुपाती के रूप में लिखा जाता है।

Scope

यह विषय अनुमान के लिए बेयस प्रमेय के कथन और व्युत्पत्ति, समानुपातिक रूप, पश्च वितरण को सामान्य करने वाली सीमांत संभाव्यता (marginal likelihood), और पश्च माध्य (posterior means), विश्वसनीय अंतराल (credible intervals), और पश्च पूर्वानुमानित वितरण (posterior predictive distribution) जैसे सारांश कैसे प्राप्त किए जाते हैं, को शामिल करता है।

Core questions

• पूर्व और संभाव्यता से पश्च वितरण कैसे प्राप्त किया जाता है?
• सीमांत संभाव्यता क्या है और यह सामान्यीकरण स्थिरांक (normalizing constant) के रूप में क्यों कार्य करती है?
• पश्च वितरण से बिंदु अनुमान (point estimates) और विश्वसनीय अंतराल कैसे निकाले जाते हैं?
• पश्च पूर्वानुमानित वितरण क्या है और इसकी गणना कैसे की जाती है?

Key concepts

• पूर्व वितरण
• संभाव्यता
• पश्च वितरण
• सीमांत संभाव्यता
• विश्वसनीय अंतराल
• पश्च पूर्वानुमानित वितरण
• सामान्यीकरण स्थिरांक

Key theories

पश्च समानुपातिकता

क्योंकि सीमांत संभाव्यता प्राचल में स्थिर होती है, अनुमान केवल संभाव्यता और पूर्व के गुणनफल पर सामान्यीकरण तक निर्भर करता है, जो अधिकांश कम्प्यूटेशनल विधियों द्वारा उपयोग किया जाने वाला रूप है।

पश्च पूर्वानुमानित वितरण

भविष्य या दोहराए गए डेटा का अनुमान पश्च वितरण पर नमूना वितरण (sampling distribution) का औसत निकालकर लगाया जाता है, जिसमें बिंदु अनुमान लगाने के बजाय प्राचल अनिश्चितता को एकीकृत किया जाता है।

Clinical relevance

पश्च अनुमान का उपयोग वहाँ किया जाता है जहाँ रुचि की मात्रा का अनुमान कैलिब्रेटेड अनिश्चितता के साथ लगाया जाना चाहिए, जिसमें नैदानिक परीक्षण की व्याख्या, भौतिक विज्ञान में प्राचल अनुमान, और संभाव्य पूर्वानुमान शामिल हैं।

History

यह नियम बेयस के 1763 के निबंध में उत्पन्न हुआ और लाप्लास द्वारा व्युत्क्रम संभाव्यता (inverse probability) की विधि में सामान्यीकृत किया गया। एकल व्युत्क्रम-संभाव्यता अनुमान के बजाय पूर्ण पश्च वितरण पर आधुनिक जोर 20वीं सदी के बेयसियन साहित्य में समेकित हुआ।

Key figures

• Thomas Bayes
• Pierre-Simon Laplace
• Harold Jeffreys

Seminal works

• gelman2013
• bayes1763

Frequently asked questions

विश्वसनीय अंतराल क्या है?

एक विश्वसनीय अंतराल एक सीमा है जिसमें एक निर्दिष्ट पश्च संभाव्यता (उदाहरण के लिए 95%) के साथ प्राचल शामिल होता है; एक फ़्रीक्वेंटिस्ट विश्वास अंतराल (frequentist confidence interval) के विपरीत, यह डेटा और पूर्व को देखते हुए प्राचल के बारे में एक सीधा संभाव्यता कथन है।

पश्च वितरण को सीमांत संभाव्यता की गणना किए बिना क्यों लिखा जा सकता है?

सीमांत संभाव्यता प्राचल के संबंध में एक स्थिरांक है, इसलिए यह केवल पश्च वितरण को पुन: स्केल करती है; MCMC जैसे कई एल्गोरिदम को केवल इस स्थिरांक तक पश्च वितरण की आवश्यकता होती है।