مارتینگلهای زمان گسسته
مارتینگل زمان گسسته، دنبالهای از متغیرهای تصادفی است که با زمان و جریان رو به رشد اطلاعات مرتبط است، و بهترین پیشبینی آن از مقدار بعدی با توجه به گذشته، همیشه مقدار فعلی آن است.
Definition
مارتینگل زمان گسسته، دنبالهای انتگرالپذیر از متغیرهای تصادفی است که با یک فیلتراسیون تطبیق یافته است، به طوری که امید ریاضی شرطی هر جمله با توجه به اطلاعات قبلی، برابر با جمله بلافاصله پیشین است.
Scope
این موضوع شامل فیلتراسیونها و فرآیندهای تطبیقیافته و قابل پیشبینی، تعاریف مارتینگل، زیرمارتینگل و فرامارتینگل، خاصیت امید ریاضی شرطی و پیامدهای آن، تجزیه دوب (Doob decomposition) یک زیرمارتینگل به یک مارتینگل و یک بخش قابل پیشبینی افزایشی، تبدیلهای مارتینگل که نشاندهنده سود یک استراتژی شرطبندی هستند، و مثالهای استانداردی مانند مجموع متغیرهای مستقل با میانگین صفر و فرآیندهای نسبت درستنمایی میشود.
Core questions
- یک فیلتراسیون چه ساختار اطلاعاتی را کدگذاری میکند و تطبیقیافته بودن یک فرآیند به چه معناست؟
- مارتینگلها، زیرمارتینگلها و فرامارتینگلها چه تفاوتی با یکدیگر دارند؟
- تجزیه دوب چگونه یک فرآیند را به یک بخش بازی منصفانه و یک روند تقسیم میکند؟
- چرا هیچ استراتژی شرطبندی قابل پیشبینی نمیتواند یک مارتینگل را به یک بازی برنده تبدیل کند؟
Key concepts
- فیلتراسیون
- فرآیندهای تطبیقیافته و قابل پیشبینی
- زیرمارتینگل و فرامارتینگل
- تجزیه دوب
- تبدیل مارتینگل
Key theories
- تجزیه دوب
- هر فرآیند انتگرالپذیر تطبیقیافته به طور منحصر به فرد به یک مارتینگل به علاوه یک فرآیند قابل پیشبینی که از صفر شروع میشود، تجزیه میشود، و فرآیند دقیقاً زمانی یک زیرمارتینگل است که این بخش قابل پیشبینی افزایشی باشد، که روند سیستماتیک را از نوسانات بازی منصفانه جدا میکند.
- تبدیل مارتینگل و انصاف بازیهای منصفانه
- سود انباشته حاصل از یک استراتژی شرطبندی قابل پیشبینی که بر روی یک مارتینگل اعمال میشود، یک مارتینگل دیگر را تشکیل میدهد، بنابراین هیچ استراتژیای که فقط از اطلاعات گذشته استفاده کند نمیتواند سود مورد انتظار مثبتی تولید کند، که بیان دقیق این است که یک بازی منصفانه را نمیتوان شکست داد.
Clinical relevance
مارتینگلهای زمان گسسته، اطلاعات ترتیبی و شرطبندی منصفانه را رسمی میکنند و مبنای آزمونهای نسبت درستنمایی ترتیبی در آمار، شرط عدم آربیتراژ در مدلهای مالی گسسته، و ساخت دنبالههای تفاضل مارتینگل هستند که برای اثبات نابرابریهای تمرکز و قضایای حدی برای دادههای وابسته استفاده میشوند.
History
ویل (Ville) مارتینگلها را برای رد وجود سیستمهای قمار موفق معرفی کرد، و دوب (Doob) نظریه زمان گسسته را با تجزیهای که به نام اوست بنا نهاد، و مارتینگلها را به ابزاری استاندارد تبدیل کرد که شیوه ارائه آن در متن ویلیامز (Williams) به الگویی برای توضیح تبدیل شد.
Key figures
- Joseph L. Doob
- Jean Ville
- Jacques Neveu
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- فیلتراسیون چیست؟
- فیلتراسیون یک خانواده افزایشی از سیگما-جبرها است، یکی برای هر زمان، که نشاندهنده اطلاعات موجود تا آن زمان است؛ یک فرآیند زمانی با آن تطبیق یافته است که هر مقدار با توجه به اطلاعات در زمان خودش شناخته شده باشد.
- چه چیزی یک زیرمارتینگل را از یک فرامارتینگل متمایز میکند؟
- یک زیرمارتینگل تمایل به افزایش در میانگین شرطی دارد، زیرا امید ریاضی مقدار بعدی آن با توجه به گذشته حداقل برابر با مقدار فعلی است، در حالی که یک فرامارتینگل تمایل به کاهش دارد؛ یک مارتینگل دقیقاً حالت مرزی است که میانگین شرطی بدون تغییر میماند.