قضایای رادون-نیکودیم و اندازه های ضربی
این نتایج، اندازهها را با هم مقایسه و ترکیب میکنند: قضیه رادون-نیکودیم یک اندازه را به صورت چگالی ضربدر اندازه دیگر نمایش میدهد، در حالی که اندازههای ضربی و قضیه فوبینی انتگرالگیری روی چندین متغیر را به یک فرآیند تکراری تبدیل میکنند.
Definition
قضیه رادون-نیکودیم بیان میکند که یک اندازه که نسبت به یک اندازه سیگما-متناهی پیوستگی مطلق دارد، برابر با انتگرال یک چگالی نسبت به آن است؛ یک اندازه ضربی، اندازهها را در فضاهای عاملی به حاصلضرب آنها گسترش میدهد تا انتگرالگیری چند متغیره بتواند یک متغیر در هر زمان انجام شود.
Scope
این موضوع شامل اندازههای علامتدار و مختلط با تجزیههای هان و جردن، پیوستگی مطلق و تکینگی متقابل، تجزیه لبگ، قضیه رادون-نیکودیم و مشتق آن، ساخت اندازههای ضربی، و قضایای فوبینی و تونلی برای جابجایی ترتیب انتگرالهای تکراری است.
Core questions
- چگونه یک اندازه نسبت به اندازه دیگر به بخشهای کاملاً پیوسته و تکین تجزیه میشود؟
- چه زمانی یک اندازه نسبت به اندازه دیگر چگالی دارد و آن چگالی چیست؟
- چگونه یک اندازه در یک فضای ضربی از اندازهها در عوامل ساخته میشود؟
- چه زمانی میتوان ترتیب یک انتگرال تکراری را جابجا کرد؟
Key theories
- قضیه رادون-نیکودیم
- اگر یک اندازه نسبت به یک اندازه سیگما-متناهی پیوستگی مطلق داشته باشد، انتگرال یک تابع چگالی منحصر به فرد، یعنی مشتق رادون-نیکودیم، است که مبنای دقیق چگالیهای احتمال و امید ریاضی شرطی است.
- قضیه فوبینی-تونلی
- تحت سیگما-متناهی بودن، انتگرال روی یک فضای ضربی برابر با هر یک از انتگرالهای تکراری است، با فرم تونلی برای توابع نامنفی و فرم فوبینی برای توابع انتگرالپذیر، که جابجایی ترتیب انتگرالگیری را توجیه میکند.
Clinical relevance
مشتق رادون-نیکودیم تابع چگالی احتمال و نسبت درستنمایی آمار و مبنای دقیق امید ریاضی شرطی در احتمال است، در حالی که اندازههای ضربی و قضیه فوبینی زیربنای بررسی توزیعهای توأم، استقلال، و انتگرالهای چند بعدی در فیزیک و ریاضیات کاربردی هستند.
History
رادون قضیه چگالی را برای فضای اقلیدسی در سال 1913 اثبات کرد و نیکودیم آن را در سال 1930 به اندازههای انتزاعی گسترش داد. قضیه فوبینی در مورد انتگرالگیری تکراری به سال 1907 بازمیگردد و با نسخه نامنفی تونلی در سال 1909 تکمیل شد و نظریه انتگرالگیری ضربی را به پایان رساند.
Key figures
- Johann Radon
- Otton Nikodym
- Guido Fubini
Related topics
Seminal works
- folland1999
- cohn2013
Frequently asked questions
- مشتق رادون-نیکودیم چیست؟
- این تابع چگالی است که یک اندازه را به صورت انتگرال نسبت به اندازه دیگر بیان میکند، زمانی که اولی نسبت به دومی پیوستگی مطلق دارد؛ در احتمال، دقیقاً تابع چگالی احتمال است.
- چه زمانی میتوان ترتیب یک انتگرال دوگانه را جابجا کرد؟
- قضیه تونلی این امکان را برای توابع اندازهپذیر نامنفی در فضاهای سیگما-متناهی فراهم میکند، و قضیه فوبینی این امکان را هر زمان که تابع روی حاصلضرب انتگرالپذیر باشد، فراهم میکند؛ این دو با هم موارد عملی را پوشش میدهند.