انتگرال لبگ
انتگرال لبگ، انتگرال یک تابع اندازهپذیر را با تقریب زدن آن با توابع ساده وزندهی شده توسط یک اندازه تعریف میکند و انتگرالی را به دست میدهد که به طور قوی با حدود تعامل دارد.
Definition
انتگرالگیری لبگ، انتگرال یک تابع اندازهپذیر نامنفی را به عنوان سوپریمم انتگرالهای توابع ساده زیر آن تعریف میکند و این تعریف را به توابع علامتدار و مختلط با انتگرالگیری از بخشهای مثبت و منفی گسترش میدهد و انتگرالی را تولید میکند که نسبت به هر اندازهای تعریف شده است.
Scope
این مبحث شامل توابع ساده و انتگرال توابع اندازهپذیر نامنفی، انتگرال توابع عمومی و مختلط، قضیه همگرایی یکنواخت، لم فاتو، قضیه همگرایی مسلط، گزارههای تقریباً همهجا، و مقایسه با انتگرال ریمان است.
Core questions
- انتگرال چگونه از توابع ساده و یک اندازه ساخته میشود؟
- تحت چه شرایطی میتوان یک حد را به داخل انتگرال برد؟
- اینکه یک ویژگی تقریباً همهجا برقرار باشد به چه معناست و چرا این مفهوم صحیح است؟
- انتگرال لبگ چگونه با انتگرال ریمان مرتبط است و آن را گسترش میدهد؟
Key theories
- قضیه همگرایی یکنواخت و لم فاتو
- برای توابع اندازهپذیر نامنفی، انتگرال یک حد افزایشی، حد انتگرالها است و به طور کلی انتگرال یک حد پایین، از حد پایین انتگرالها تجاوز نمیکند، که ابزارهای اساسی برای عبور دادن حدود از طریق انتگرالها هستند.
- قضیه همگرایی مسلط
- اگر توابع تقریباً همهجا همگرا شوند و از نظر اندازه توسط یک تابع انتگرالپذیر ثابت محدود شوند، حد انتگرالهای آنها برابر با انتگرال حد است، که پرکاربردترین قضیه جابجایی در انتگرالگیری است.
Clinical relevance
انتگرال لبگ، امید ریاضی نظریه احتمال و انتگرال زیربنایی تحلیل فوریه و تحلیل تابعی است؛ قضایای همگرایی آن، جابجایی حدود، مجموعها و انتگرالها را در استخراجات سراسر فیزیک، آمار و ریاضیات کاربردی توجیه میکنند و فضاهای تابعی Lp را کامل میسازند.
History
لبگ انتگرال خود را در سال 1902 تعریف کرد و قضایای همگرایی بلافاصله پس از آن تثبیت شدند، با لم فاتو که در کار او در سال 1906 در مورد سریها ظاهر شد و قضیه همگرایی یکنواخت لوی در سال 1906. این نتایج به تحلیل، انتگرال مدرن و سازگار با حد را بخشید.
Key figures
- Henri Lebesgue
- Pierre Fatou
- Beppo Levi
Related topics
Seminal works
- folland1999
- axler2020
Frequently asked questions
- «تقریباً همهجا» به چه معناست؟
- یک گزاره تقریباً همهجا برقرار است اگر مجموعهای که در آن برقرار نیست، اندازه صفر داشته باشد؛ انتگرال لبگ نمیتواند تغییرات روی چنین مجموعههایی را تشخیص دهد، بنابراین توابعی که تقریباً همهجا برابرند، انتگرال یکسانی دارند.
- چرا قضایای همگرایی اصلیترین دستاورد هستند؟
- قضایای همگرایی یکنواخت و مسلط اجازه میدهند که حدود تحت فرضیات ملایم به داخل انتگرالها برده شوند، که دقیقاً همان انعطافپذیری است که انتگرال ریمان فاقد آن است و نظریه احتمال و تحلیل به آن وابسته هستند.