انتگرال ریمان و لبگ
انتگرال یک مقدار دقیق به مساحت زیر یک منحنی اختصاص میدهد؛ انتگرال ریمان این کار را با تقسیم دامنه انجام میدهد، در حالی که انتگرال لبگ دامنه را تقسیم میکند و کلاس بسیار وسیعتری از توابع را انتگرالگیری میکند.
Definition
انتگرال ریمان حد مشترک مجموعهای بالا و پایین بر روی تقسیمبندیهای ریزتر دامنه است. انتگرال لبگ، که با تقریب توابع با توابع ساده اندازهگیری شده توسط یک اندازه تعریف میشود، انتگرالگیری را به یک کلاس وسیعتر گسترش میدهد و تحت حدود به خوبی عمل میکند.
Scope
این موضوع شامل ساخت انتگرال ریمان از طریق مجموعهای بالا و پایین، معیار انتگرالپذیری ریمان، قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال، محدودیتهای انتگرال ریمان تحت حدود، و انتگرال لبگ که بر پایه اندازه ساخته شده است به همراه قضایای همگرایی یکنواخت، فاتو و همگرایی مسلط آن میشود.
Core questions
- دقیقاً کدام توابع ریمان انتگرالپذیر هستند و چه چیزی آنها را مشخص میکند؟
- قضیه اساسی حساب دیفرانسیل چگونه انتگرالگیری و مشتقگیری را به هم پیوند میدهد؟
- چرا انتگرال ریمان با بسیاری از حدود جابجا نمیشود؟
- انتگرال لبگ چگونه بر این محدودیتها غلبه میکند؟
Key theories
- معیار لبگ برای انتگرالپذیری ریمان
- یک تابع کراندار در یک بازه بسته ریمان انتگرالپذیر است اگر و تنها اگر مجموعه نقاط ناپیوستگی آن دارای اندازه صفر باشد، که دقیقاً دامنه نظریه ریمان را مشخص میکند.
- قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال
- مشتقگیری و انتگرالگیری عملیات معکوس یکدیگر هستند: انتگرال یک مشتق، تابع اصلی را بازیابی میکند و مشتق یک انتگرال، انتگرالده را بازیابی میکند و دو عملیات اصلی تحلیل را به هم پیوند میدهد.
- همگرایی یکنواخت و مسلط
- برای انتگرال لبگ، دنبالههای صعودی یکنواخت و دنبالههای مسلط توابع اجازه جابجایی حد و انتگرال را میدهند، قدرت همگرایی که انتگرال ریمان فاقد آن است.
Clinical relevance
نظریه انتگرالگیری زیربنای محاسبه مساحتها، احتمالات، امید ریاضی و مقادیر انباشته در سراسر علم است. رفتار حدی قوی انتگرال لبگ برای نظریه احتمال، تحلیل فوریه، کامل بودن فضاهای تابعی و برخورد دقیق با حل معادلات دیفرانسیل ضروری است.
History
ریمان اولین تعریف دقیق انتگرال را در سال ۱۸۵۴ ارائه داد. ناتوانی آن در مدیریت بسیاری از حدود و توابع ناپیوسته، انگیزه انتگرال مبتنی بر اندازه لبگ در سال ۱۹۰۲ شد که به ابزار استاندارد تحلیل مدرن و احتمال تبدیل گشت.
Key figures
- Bernhard Riemann
- Henri Lebesgue
- Emile Borel
Related topics
Seminal works
- rudin1976
- stein2005real
Frequently asked questions
- چرا انتگرال لبگ در تحلیل پیشرفته ترجیح داده میشود؟
- این انتگرال توابع بیشتری را انتگرالگیری میکند و مهمتر از آن، اجازه میدهد تا حدود و انتگرالها تحت شرایط ملایم جابجا شوند، که فضاهای تابعی را کامل میکند و در احتمال و تحلیل فوریه ضروری است.
- آیا این دو انتگرال هرگز با هم اختلاف نظر دارند؟
- برای توابعی که در یک بازه کراندار ریمان انتگرالپذیر هستند، این دو انتگرال مقدار یکسانی را میدهند؛ انتگرال لبگ به سادگی برای کلاس بزرگتری از توابع که انتگرال ریمان برای آنها تعریف نشده است، کاربرد دارد.