تبدیلات و گشتاورها
توابع متغیرهای تصادفی توزیعهای خاص خود را دارند که از طریق فرمولهای تغییر متغیر به دست میآیند، و گشتاورها و توابع مولد آنها یک توزیع را از طریق میانگین، واریانس، و شکل مرتبه بالاتر آن خلاصه میکنند.
Definition
تبدیل یک متغیر تصادفی، تابعی اندازهپذیر از آن است که توزیع آن با پیشراندن قانون اصلی به دست میآید، و گشتاورها امید ریاضی توانهای یک متغیر تصادفی هستند که مکان، پراکندگی و شکل توزیع آن را خلاصه میکنند.
Scope
این موضوع شامل توزیع توابع یک یا چند متغیر تصادفی با استفاده از فرمولهای تغییر متغیر و ژاکوبین، گشتاورها و گشتاورهای مرکزی، واریانس و کوواریانس، توابع مولد گشتاور و کومولانت، روابط بین گشتاورها، کومولانتها، چولگی و کشیدگی، و مسئله گشتاور در مورد اینکه چه زمانی گشتاورها یک توزیع را تعیین میکنند، میشود.
Core questions
- توزیع یک تابع از متغیرهای تصادفی چگونه از توزیع اصلی محاسبه میشود؟
- گشتاورهای متوالی یک توزیع چه چیزی را اندازهگیری میکنند؟
- توابع مولد چگونه همه گشتاورها را به طور همزمان کدگذاری میکنند؟
- چه زمانی گشتاورهای یک توزیع آن را به طور منحصر به فرد تعیین میکنند؟
Key concepts
- تغییر متغیر و ژاکوبین
- گشتاورها و گشتاورهای مرکزی
- واریانس و کوواریانس
- کومولانتها
- مسئله گشتاور
Key theories
- فرمول تغییر متغیر
- برای یک تبدیل هموار معکوسپذیر، چگالی متغیر تبدیلشده، چگالی اصلی ارزیابیشده در معکوس، مقیاسبندی شده با مقدار مطلق دترمینان ژاکوبین است که ابزار استاندارد برای استخراج قانون یک تابع از متغیرهای تصادفی است.
- توابع مولد گشتاور و کومولانت
- هنگامی که تابع مولد گشتاور وجود دارد، تمام گشتاورها را از طریق مشتقات خود در مبدأ کدگذاری میکند، و لگاریتم آن، یعنی تابع مولد کومولانت، دارای کومولانتهایی است که بر روی متغیرهای مستقل جمع میشوند و مطالعه مجموعها را ساده میکنند.
- مسئله گشتاور
- گشتاورها یک توزیع را تحت شرایط رشد مانند شرایط کارلمان به طور منحصر به فرد تعیین میکنند، اما توزیعهای دمسنگین مانند لگنرمال میتوانند تمام گشتاورها را با توزیعهای دیگر به اشتراک بگذارند، بنابراین گشتاورها همیشه یک قانون را مشخص نمیکنند.
Clinical relevance
تبدیلات و گشتاورها ابزارهای روزمره احتمال کاربردی هستند: استخراج توزیع یک کمیت تبدیلشده از شبیهسازی و انتشار خطا پشتیبانی میکند، گشتاورها میانگینها، واریانسها و همبستگیهای مورد استفاده در آمار و نظریه پورتفولیو را ارائه میدهند، و چولگی و کشیدگی نشاندهنده انحراف از نرمال بودن در تحلیل ریسک و کنترل کیفیت هستند.
History
گشتاورها و مسئله گشتاور در کارهای قرن نوزدهم چبیشف، مارکوف و استیلتیس که از روشهای گشتاور برای اثبات قضایای حد اولیه استفاده کردند، محوری بودند؛ تکنیک تغییر متغیر برای چگالیها، معادل احتمالی قاعده جایگزینی از حساب دیفرانسیل و انتگرال است.
Key figures
- Pafnuty Chebyshev
- Thomas Stieltjes
- William Feller
- Carl Friedrich Gauss
Related topics
Seminal works
- feller1971
Frequently asked questions
- آیا گشتاورهای یک توزیع همیشه آن را تعیین میکنند؟
- همیشه نه؛ تحت شرایط رشد بر روی گشتاورها، آنها این کار را میکنند، اما برخی توزیعها، مانند لگنرمال، هر گشتاور را با توزیعهای متمایز به اشتراک میگذارند، بنابراین دنباله گشتاور ممکن است نتواند قانون را مشخص کند.
- چرا کومولانتها را در کنار گشتاورها معرفی میکنیم؟
- کومولانتها بر روی متغیرهای تصادفی مستقل جمع میشوند، بنابراین برای مجموعها رفتار سادهتری نسبت به گشتاورها دارند؛ کومولانت دوم واریانس است و کومولانتهای بالاتر انحراف از نرمال بودن را اندازهگیری میکنند، که همه آنها برای توزیع نرمال بالاتر از مرتبه دو ناپدید میشوند.