قضایای همگرایی مارتینگل
قضایای همگرایی دوب نشان میدهند که یک مارتینگل که نوسانات بسیار شدیدی ندارد، تقریباً مطمئناً به یک حد میل میکند؛ این یک مسیر قدرتمند و بسیار کلی برای اثبات همگرایی دنبالههای تصادفی است.
Definition
قضایای همگرایی مارتینگل نتایجی هستند که بیان میکنند یک مارتینگل کراندار در میانگین اول تقریباً مطمئناً همگرا میشود، و تحت انتگرالپذیری یکنواخت، در میانگین اول همگرا میشود و برابر با امید ریاضی شرطی حد خود است.
Scope
این موضوع شامل نابرابری بالارونده دوب و قضیه همگرایی تقریباً مطمئن مارتینگل برای فرآیندهایی است که در میانگین اول کراندار هستند، نقش انتگرالپذیری یکنواخت در ارتقاء به همگرایی در میانگین اول و در بستن یک مارتینگل توسط حد آن، همگرایی در میانگین مرتبه p برای p بزرگتر از یک، و قضایای همگرایی صعودی و نزولی لوی با قانون صفر-یک به عنوان یک نتیجه فرعی.
Core questions
- چرا کرانداری در میانگین اول یک مارتینگل را مجبور به همگرایی تقریباً مطمئن میکند؟
- چه شرط اضافی همگرایی در میانگین و یک متغیر حدی بسته را فراهم میکند؟
- قضیه لوی چگونه حد امیدهای شرطی را در طول یک فیلتراسیون توصیف میکند؟
- این قضایا چگونه قوانین صفر-یک و سایر نتایج همگرایی را به دست میدهند؟
Key concepts
- نابرابری بالارونده
- همگرایی تقریباً مطمئن
- انتگرالپذیری یکنواخت
- مارتینگل بسته
- قانون صفر-یک لوی
Key theories
- قضیه همگرایی مارتینگل دوب
- یک مارتینگل که گشتاورهای مطلق اول آن کراندار هستند، تقریباً مطمئناً به یک حد متناهی همگرا میشود، که از طریق نابرابری بالارونده اثبات میشود؛ این نابرابری تعداد دفعاتی را که فرآیند میتواند از هر بازهای عبور کند، محدود میکند و همگرایی را تحت حداقل فرضیات فراهم میآورد.
- انتگرالپذیری یکنواخت و همگرایی در میانگین
- یک مارتینگل انتگرالپذیر یکنواخت هم تقریباً مطمئناً و هم در میانگین اول همگرا میشود و توسط حد خود بسته میشود، به این معنی که هر جمله امید ریاضی شرطی آن حد با توجه به اطلاعات مربوطه است، که مارتینگلهای خوشرفتار را مشخص میکند.
- قضایای صعودی و نزولی لوی
- امیدهای شرطی یک متغیر انتگرالپذیر ثابت با توجه به خانوادهای افزایشی یا کاهشی از سیگما-جبرها (sigma-algebras) تقریباً مطمئناً و در میانگین به امید شرطی با توجه به سیگما-جبر حدی همگرا میشوند، با قانون صفر-یک کولموگروف به عنوان یک حالت خاص.
Clinical relevance
همگرایی مارتینگل زیربنای سازگاری توزیعهای پسین بیزی با انباشت دادهها، همگرایی تقریباً مطمئن الگوریتمهای تقریب تصادفی و یادگیری آنلاین، قانون قوی اعداد بزرگ از طریق مارتینگلهای معکوس، و همگرایی نسبتهای درستنمایی است که آزمایشهای متوالی و انتخاب مدل را کنترل میکند.
History
دوب قضیه همگرایی تقریباً مطمئن را اثبات کرد و استدلال بالارونده را در دهه 1940 معرفی کرد، و لوی پیش از آن همگرایی امیدهای شرطی را در طول یک فیلتراسیون (filtration) برقرار کرده بود؛ اینها با هم ستون فقرات همگرایی نظریه مارتینگل را که در متون مدرن ارائه شده است، تشکیل دادند.
Key figures
- Joseph L. Doob
- Paul Levy
- David Williams
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- آیا همگرایی تقریباً مطمئن یک مارتینگل به معنای همگرایی میانگینهای آن است؟
- به خودی خود خیر؛ همگرایی تقریباً مطمئن از کرانداری در میانگین اول ناشی میشود، اما همگرایی امیدها و خاصیت بستهشدن به شرط قویتر انتگرالپذیری یکنواخت نیاز دارد.
- نابرابری بالارونده چیست؟
- این نابرابری تعداد مورد انتظار دفعاتی را که یک مارتینگل از یک بازه ثابت به سمت بالا عبور میکند، بر حسب اندازه فعلی آن محدود میکند؛ از آنجا که یک دنباله کراندار ناهمگرا باید بینهایت بار از یک بازه نوسان کند، این کران همگرایی تقریباً مطمئن را اجباری میکند.