Procesos de Poisson

El proceso de Poisson es el modelo de puntos dispersos completamente al azar en el tiempo o el espacio, en el que los recuentos en regiones disjuntas son independientes y se distribuyen según Poisson, lo que lo convierte en la descripción canónica de las llegadas aleatorias.

Definition

Un proceso de Poisson es un proceso de conteo cuyos números de eventos en regiones disjuntas son independientes y se distribuyen según Poisson con una media proporcional al tamaño de la región, o equivalentemente, un proceso de puntos con incrementos independientes y estacionarios.

Scope

El tema abarca el proceso de Poisson homogéneo en la línea definido por tiempos entre llegadas exponenciales independientes, su caracterización equivalente a través de incrementos independientes distribuidos según Poisson, los procesos de puntos de Poisson no homogéneos y espaciales, las operaciones de superposición y adelgazamiento, la propiedad de estadísticas de orden de los tiempos de llegada condicionados, y el proceso de Poisson como el proceso de conteo de Markov en tiempo continuo más simple.

Core questions

• ¿Qué propiedades de independencia y distribución caracterizan los puntos completamente aleatorios?
• ¿Por qué los tiempos de espera entre eventos de Poisson se distribuyen exponencialmente y carecen de memoria?
• ¿Cómo la superposición y el adelgazamiento combinan y dividen los procesos de Poisson?
• ¿Cómo se distribuyen los tiempos de llegada una vez que se conoce el número de llegadas?

Key concepts

• incrementos independientes
• tiempos entre llegadas exponenciales
• superposición y adelgazamiento
• intensidad no homogénea
• proceso de puntos espaciales

Key theories

Propiedades definitorias del proceso de Poisson

Los recuentos independientes distribuidos según Poisson sobre conjuntos disjuntos, los tiempos entre llegadas exponenciales sin memoria y el límite de muchos eventos raros independientes describen el mismo proceso, tres caracterizaciones equivalentes que explican su universalidad.

Superposición, adelgazamiento y la propiedad de estadísticas de orden

La fusión de procesos de Poisson independientes suma sus tasas, mantener independientemente cada punto con una probabilidad fija produce un proceso de Poisson adelgazado, y condicionado al recuento, los tiempos de llegada se distribuyen como muestras uniformes ordenadas, un conjunto de herramientas para manipular puntos de Poisson.

Clinical relevance

El proceso de Poisson es el modelo estándar para flujos de llegada en teoría de colas y telecomunicaciones, para la temporización de desintegraciones radiactivas y detecciones de fotones, para llegadas de reclamaciones de seguros, y como modelo de proceso de puntos espaciales para las ubicaciones de estrellas, árboles o eventos celulares, donde sus reglas de adelgazamiento y superposición facilitan el análisis.

History

Poisson derivó la ley límite de eventos raros en 1837. Erlang aplicó las llegadas de Poisson al tráfico telefónico a principios del siglo XX, fundando la teoría de colas, y Kingman proporcionó el tratamiento moderno basado en la teoría de la medida de los procesos de puntos de Poisson en espacios generales.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

¿Por qué los tiempos entre eventos de Poisson son exponenciales?

Porque el proceso no tiene memoria: la probabilidad de un evento en el siguiente instante no depende de cuánto tiempo se haya esperado, y la distribución exponencial es la única distribución continua con esta propiedad de falta de memoria.

¿Qué hace el adelgazamiento de un proceso de Poisson?

Si cada punto de un proceso de Poisson se mantiene de forma independiente con una probabilidad fija, los puntos retenidos forman de nuevo un proceso de Poisson con la tasa escalada por esa probabilidad, y los puntos conservados y descartados son independientes.