Procesos de Poisson Inhomogéneos y Compuestos

Generalizando el proceso de Poisson, una versión inhomogénea permite que la tasa de eventos varíe en el tiempo o el espacio, mientras que una versión compuesta asigna tamaños aleatorios independientes a cada evento.

Definition

Un proceso de Poisson inhomogéneo es un proceso de conteo con incrementos independientes cuya cuenta en una región se distribuye según Poisson con una media dada por la integral de una intensidad no constante, y un proceso de Poisson compuesto es la suma de saltos aleatorios independientes idénticamente distribuidos que ocurren en los eventos de un proceso de Poisson.

Scope

Este tema cubre el proceso de Poisson inhomogéneo definido por una función de intensidad variable y una medida media acumulativa, el cambio de tiempo que lo mapea a un proceso de Poisson estándar, el proceso de Poisson compuesto formado por la suma de marcas aleatorias independientes en los tiempos de eventos de Poisson, su media, varianza y función característica, y las aplicaciones al riesgo de seguros y al ruido de disparo.

Core questions

• ¿Cómo generaliza una función de intensidad variable el proceso de tasa constante?
• ¿Cómo se puede transformar un proceso inhomogéneo en uno homogéneo mediante un cambio de tiempo?
• ¿Cómo se calculan la media y la varianza de una suma de Poisson compuesta?
• ¿Cómo modelan estos procesos las reclamaciones de seguros y el ruido de disparo?

Key theories

Cambio de tiempo a Poisson estándar

Reescalar el tiempo mediante la función de intensidad acumulativa convierte un proceso de Poisson inhomogéneo en un proceso de Poisson estándar de tasa uno, lo que tanto caracteriza el proceso inhomogéneo como proporciona un método de simulación por inversión o adelgazamiento.

Distribución de Poisson compuesta

La suma de un número de saltos independientes distribuidos según Poisson tiene una media y una varianza expresables a través de la distribución de los saltos, y su función característica es la exponencial de la tasa multiplicada por la función característica de los saltos menos uno, lo que la vincula con las leyes infinitamente divisibles.

Clinical relevance

Los procesos de Poisson inhomogéneos modelan tasas de llegada variables en el tiempo, como el tráfico diario o la incidencia estacional de enfermedades, mientras que los procesos de Poisson compuestos son el modelo clásico de reclamaciones de seguros agregadas en la teoría del riesgo de Cramer-Lundberg y del ruido de disparo en física y procesamiento de señales.

History

Lundberg introdujo el modelo de riesgo de Poisson compuesto en 1903 y Cramer desarrolló su teoría de la ruina en la década de 1930, mientras que los procesos de Poisson inhomogéneos y su simulación basada en el adelgazamiento (thinning), formalizada por Lewis y Shedler en 1979, se convirtieron en herramientas estándar para modelar tasas de eventos variables en el tiempo.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

¿Cuál es la diferencia entre los procesos de Poisson inhomogéneos y compuestos?

Un proceso inhomogéneo mantiene saltos unitarios pero permite que la tasa de eventos varíe en el tiempo o el espacio, mientras que un proceso compuesto mantiene un número de eventos de Poisson pero asigna a cada uno un tamaño aleatorio.

¿Cómo se utiliza un proceso de Poisson compuesto en los seguros?

Modela el total de reclamaciones como un número de Poisson de importes de reclamación independientes; el agregado resultante es la base de la teoría clásica de la ruina, que estudia la probabilidad de que las reclamaciones acumuladas superen las reservas.