Proceso de Poisson Homogéneo

El proceso de Poisson homogéneo cuenta eventos que ocurren a una tasa promedio constante, con el número de eventos en cualquier intervalo distribuido según Poisson y los recuentos en intervalos disjuntos siendo independientes.

Definition

Un proceso de Poisson homogéneo de tasa lambda es un proceso de conteo que comienza en cero con incrementos estacionarios independientes, en el cual el número de eventos en un intervalo de longitud t se distribuye según Poisson con una media de lambda por t; equivalentemente, es un proceso cuyos tiempos entre llegadas son variables aleatorias exponenciales independientes con tasa lambda.

Scope

Este tema abarca el parámetro de tasa, la distribución de Poisson de los recuentos, los incrementos independientes y estacionarios, la distribución exponencial de los tiempos entre llegadas y la distribución gamma de los tiempos de llegada, la propiedad de las estadísticas de orden de los tiempos de los eventos condicionados al recuento, y la propiedad de ausencia de memoria que subyace a estos resultados.

Core questions

• ¿Cómo se define el proceso de Poisson homogéneo y cómo se parametriza por su tasa?
• ¿Por qué los tiempos entre llegadas son exponenciales e independientes?
• ¿Cómo se distribuyen los tiempos de llegada dado el número de eventos?
• ¿Cuál es el papel de la propiedad de ausencia de memoria?

Key theories

Equivalencia de las descripciones de conteo y entre llegadas

Un proceso de conteo tiene incrementos de Poisson con incrementos estacionarios independientes si y solo si sus tiempos sucesivos entre llegadas son exponenciales independientes con la misma tasa, por lo que el proceso puede construirse ya sea contando o sumando tiempos de espera.

Propiedad de las estadísticas de orden

Condicionados al número de eventos en un intervalo, los tiempos de los eventos se distribuyen como las estadísticas de orden de puntos uniformes independientes en ese intervalo, lo que simplifica muchos cálculos y simulaciones condicionales.

Clinical relevance

El proceso de Poisson homogéneo es el modelo estándar para las llegadas en las colas, los recuentos de desintegración radiactiva, la detección de fotones y la ocurrencia de eventos raros. Sirve como mecanismo de llegada en las colas elementales M/M/1 y M/G/1, y como modelo nulo de aleatoriedad en los datos de tiempo de eventos.

History

El análisis de Bortkiewicz de 1898 sobre eventos raros y el estudio de Erlang de 1909 sobre el tráfico telefónico establecieron empíricamente el proceso de Poisson, mientras que los recuentos de partículas alfa de Rutherford y Geiger en 1910 proporcionaron una confirmación física clásica; la teoría rigurosa surgió del estudio general de procesos con incrementos independientes.

Key figures

• Simeon Denis Poisson
• Agner Krarup Erlang
• Ernest Rutherford

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

¿Por qué los tiempos entre llegadas de Poisson son exponenciales?

La independencia y la estacionariedad de los incrementos obligan a que el tiempo de espera hasta el siguiente evento no tenga memoria, y la única distribución continua sin memoria es la exponencial, con una tasa igual a la tasa del proceso.

¿Qué significa el parámetro de tasa?

La tasa lambda es el número promedio de eventos por unidad de tiempo; el recuento esperado en un intervalo es lambda multiplicado por su longitud, y el tiempo medio entre llegadas es uno dividido por lambda.