Colas Markovianas

Una cola markoviana presenta llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, lo que convierte el número de clientes en una cadena de Markov de tiempo continuo cuyo equilibrio puede resolverse explícitamente.

Definition

Una cola markoviana es un sistema de servicio en el que los clientes llegan según un proceso de Poisson y requieren tiempos de servicio exponenciales independientes, de modo que el número en el sistema evoluciona como una cadena de Markov de tiempo continuo de nacimiento-muerte con distribuciones explícitas de estado estacionario y tiempo de espera.

Scope

Este tema abarca la notación de Kendall para sistemas de colas, la cola M/M/1 de un solo servidor y su distribución estacionaria geométrica, los sistemas M/M/c de múltiples servidores y los sistemas con pérdidas, las fórmulas de Erlang B y C, la estabilidad y la intensidad del tráfico, y la derivación de la longitud media de la cola, el tiempo de espera y las cantidades del período de ocupación a partir del proceso subyacente de nacimiento-muerte.

Core questions

• ¿Cómo surge la cola M/M/1 como un proceso de nacimiento-muerte y cuál es su distribución estacionaria?
• ¿Qué condición sobre la intensidad del tráfico asegura que la cola sea estable?
• ¿Cómo se obtienen la longitud media de la cola y el tiempo de espera, y cómo se aplica la ley de Little?
• ¿Cómo cambian las fórmulas de Erlang los múltiples servidores y la capacidad finita?

Key theories

Distribución estacionaria y estabilidad M/M/1

El número en una cola M/M/1 tiene una distribución estacionaria geométrica con un parámetro igual a la intensidad del tráfico, la relación entre la tasa de llegada y la tasa de servicio, y la cola es estable precisamente cuando esta relación es menor que uno.

Fórmulas de pérdida y retardo de Erlang

Para sistemas multiservidor, la fórmula de Erlang B proporciona la probabilidad de bloqueo en un sistema con pérdidas y la fórmula de Erlang C proporciona la probabilidad de espera en un sistema con retardo, ambas derivadas de las ecuaciones de equilibrio de nacimiento-muerte y fundamentales para la planificación de la capacidad.

Clinical relevance

Las colas markovianas son los modelos fundamentales para dimensionar grupos de líneas telefónicas, personal de centros de llamadas, granjas de servidores y mostradores de servicio, donde las fórmulas de Erlang traducen la carga ofrecida y los niveles de servicio objetivo en el número de servidores requeridos.

History

Erlang derivó las fórmulas de pérdida y retardo para el tráfico telefónico entre 1909 y 1917, Kendall introdujo la notación sistemática de llegada/servicio/servidor y el análisis de cadena incrustada en 1953, y el tratado de Kleinrock de la década de 1970 aplicó la teoría a las redes informáticas y de comunicación.

Key figures

• Agner Krarup Erlang
• David Kendall
• Leonard Kleinrock

Seminal works

• kleinrock1975

Frequently asked questions

¿Qué significa M/M/1?

En la notación de Kendall, la primera M denota llegadas markovianas (Poisson), la segunda M denota tiempos de servicio exponenciales y el 1 denota un solo servidor.

¿Cuándo es estable una cola markoviana?

Cuando la intensidad del tráfico, la tasa de llegada dividida por la tasa total de servicio, es menor que uno; de lo contrario, la cola crece sin límite y no existe una distribución estacionaria.