Inhomogene und zusammengesetzte Poisson-Prozesse

Als Verallgemeinerung des Poisson-Prozesses lässt eine inhomogene Version die Ereignisrate über Zeit oder Raum variieren, während eine zusammengesetzte Version jedem Ereignis unabhängige Zufallsgrößen zuordnet.

Definition

Ein inhomogener Poisson-Prozess ist ein Zählprozess mit unabhängigen Inkrementen, dessen Zählung in einem Bereich Poisson-verteilt ist mit einem Mittelwert, der durch das Integral einer nicht-konstanten Intensität gegeben ist, und ein zusammengesetzter Poisson-Prozess ist die Summe unabhängiger, identisch verteilter Zufallssprünge, die bei den Ereignissen eines Poisson-Prozesses auftreten.

Scope

Dieses Thema behandelt den inhomogenen Poisson-Prozess, definiert durch eine variierende Intensitätsfunktion und ein kumulatives Mittelmaß, die Zeitänderung, die ihn auf einen Standard-Poisson-Prozess abbildet, den zusammengesetzten Poisson-Prozess, der durch Summieren unabhängiger Merkmale zu Poisson-Ereigniszeiten gebildet wird, dessen Mittelwert, Varianz und charakteristische Funktion sowie Anwendungen in der Versicherungsrisikobewertung und im Schrotrauschen.

Core questions

• Wie verallgemeinert eine variierende Intensitätsfunktion den Prozess mit konstanter Rate?
• Wie kann ein inhomogener Prozess durch eine Zeitänderung in einen homogenen umgewandelt werden?
• Wie werden der Mittelwert und die Varianz einer zusammengesetzten Poisson-Summe berechnet?
• Wie modellieren diese Prozesse Versicherungsansprüche und Schrotrauschen?

Key theories

Zeitänderung zu Standard-Poisson

Die Reskalierung der Zeit durch die kumulative Intensitätsfunktion verwandelt einen inhomogenen Poisson-Prozess in einen Standard-Poisson-Prozess mit Rate eins, was sowohl den inhomogenen Prozess charakterisiert als auch eine Simulationsmethode durch Inversion oder Ausdünnung bereitstellt.

Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

Die Summe einer Poisson-verteilten Anzahl unabhängiger Sprünge hat einen Mittelwert und eine Varianz, die durch die Sprungverteilung ausgedrückt werden können, und ihre charakteristische Funktion ist das Exponential der Rate mal der charakteristischen Sprungfunktion minus eins, was sie mit unendlich teilbaren Gesetzen verbindet.

Clinical relevance

Inhomogene Poisson-Prozesse modellieren zeitlich variierende Ankunftsraten wie den täglichen Verkehr oder die saisonale Krankheitsinzidenz, während zusammengesetzte Poisson-Prozesse das klassische Modell aggregierter Versicherungsansprüche in der Cramer-Lundberg-Risikotheorie und des Schrotrauschens in der Physik und Signalverarbeitung darstellen.

History

Lundberg führte das zusammengesetzte Poisson-Risikomodell 1903 ein, und Cramer entwickelte in den 1930er Jahren dessen Ruin-Theorie, während inhomogene Poisson-Prozesse und ihre auf Ausdünnung basierende Simulation, die 1979 von Lewis und Shedler formalisiert wurden, zu Standardwerkzeugen für die Modellierung zeitlich variierender Ereignisraten wurden.

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen inhomogenen und zusammengesetzten Poisson-Prozessen?

Ein inhomogener Prozess behält Einheitssprünge bei, lässt aber die Ereignisrate in Zeit oder Raum variieren, während ein zusammengesetzter Prozess eine Poisson-Anzahl von Ereignissen beibehält, aber jedem eine zufällige Größe zuweist.

Wie wird ein zusammengesetzter Poisson-Prozess in der Versicherung verwendet?

Er modelliert die Gesamtschäden als eine Poisson-Anzahl unabhängiger Schadenbeträge; das resultierende Aggregat ist die Grundlage der klassischen Ruin-Theorie, die die Wahrscheinlichkeit untersucht, dass die kumulierten Schäden die Rücklagen übersteigen.