Martingale und stochastische Integration

Kontinuierliche Martingale sind mit ihrer quadratischen Variation und ihrer Zerlegung in vorhersagbare und Martingal-Anteile die Integratoren, gegen die stochastische Integrale gebildet werden.

Definition

In kontinuierlicher Zeit ist ein Martingal ein Prozess, dessen bedingte erwartete Inkremente verschwinden; seine quadratische Variation misst die akkumulierte Fluktuation, die Doob-Meyer-Zerlegung teilt Submartingale in einen vorhersagbaren zunehmenden Teil und ein Martingal auf, und diese Strukturen definieren die stochastische Integration gegen Semimartingale.

Scope

Dieses Thema behandelt kontinuierliche Martingale und lokale Martingale, die Doob-Meyer-Zerlegung von Submartingalen, die quadratische Variation und den Klammerprozess, Semimartingale als die größte natürliche Klasse von Integratoren, die Konstruktion des stochastischen Integrals gegen ein Martingal und den Martingal-Darstellungssatz, der Brownsche Martingale als stochastische Integrale ausdrückt.

Core questions

• Wie verallgemeinern kontinuierliche Martingale und lokale Martingale den diskreten Fall?
• Was ist quadratische Variation und warum ist sie zentral für die stochastische Integration?
• Wie identifiziert die Doob-Meyer-Zerlegung den Martingal-Anteil eines Prozesses?
• Warum sind Semimartingale die natürliche Klasse von Integratoren, und was liefert die Martingal-Darstellung?

Key theories

Doob-Meyer-Zerlegung und quadratische Variation

Ein Submartingal zerlegt sich eindeutig in ein lokales Martingal plus einen vorhersagbaren zunehmenden Prozess, und die quadratische Variation eines kontinuierlichen lokalen Martingals ist der vorhersagbare Prozess, dessen Subtraktion sein Quadrat zu einem Martingal macht, wodurch das Varianzmaß für stochastische Integrale bereitgestellt wird.

Stochastisches Integral und Martingal-Darstellung

Das stochastische Integral eines vorhersagbaren Prozesses gegen ein quadratisch integrierbares Martingal ist selbst ein Martingal mit berechenbarer quadratischer Variation, und der Martingal-Darstellungssatz zeigt, dass jedes Brownsche Martingal ein solches Integral ist, die Grundlage der Absicherung im Finanzwesen.

Clinical relevance

Die Martingal-basierte stochastische Integration ist die mathematische Grundlage des Ito-Integrals und stochastischer Differentialgleichungen, der Filtertheorie und der arbitragefreien Preisgestaltung und Absicherung in der mathematischen Finanzwirtschaft, wo der Martingal-Darstellungssatz Replikationsstrategien für derivative Wertpapiere liefert.

History

Doob vermutete die Zerlegung, die Meyer 1962 bewies. Die Straßburger Schule unter der Leitung von Meyer entwickelte in den 1960er und 1970er Jahren die allgemeine Theorie der Semimartingale und der stochastischen Integration, und die Arbeit von Kunita und Watanabe über quadratisch integrierbare Martingale vereinte das Integral gegen allgemeine Martingal-Integratoren.

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

Warum integriert man gegen Martingale und nicht gegen gewöhnliche Funktionen?

Martingalpfade sind zu unregelmäßig, um im gewöhnlichen Sinne integriert zu werden, aber ihre kontrollierte Fluktuation, gemessen durch die quadratische Variation, ermöglicht ein probabilistisches Integral, das selbst ein Martingal ist und dem stochastischen Kalkül zugrunde liegt.

Was ist quadratische Variation?

Sie ist der Grenzwert der summierten quadrierten Inkremente eines Prozesses über feinere Partitionen; für Martingalpfade ist sie im Allgemeinen ungleich Null und fungiert als natürliche Varianzuhr für die stochastische Integration.