حساب إيتو والتكامل العشوائي
يوسع حساب إيتو التكامل والتفاضل ليشمل العمليات التي يحركها حركة براونية، مستبدلاً قاعدة السلسلة العادية بصيغة إيتو، التي تحمل حدًا إضافيًا من التباين التربيعي.
Definition
تكامل إيتو هو التكامل العشوائي لعملية قابلة للتنبؤ مقابل الحركة البراونية، وهو مُعرَّف بحيث يكون مارتينجال بتباين مُعطى بواسطة تساوي قياس إيتو، وصيغة إيتو هي قاعدة تغيير المتغيرات الناتجة التي تضيف حدًا من المشتقة الثانية يعكس التباين التربيعي للمُكامِل.
Scope
يغطي هذا الموضوع بناء تكامل إيتو كنهاية لمجاميع ريمان ذات النقطة اليسرى مقابل الحركة البراونية، وتساوي قياس إيتو، وخاصية المارتينجال للتكامل، وصيغة إيتو لدوال الانتشار، وقواعد الأبعاد المتعددة والجداء، والمقارنة مع تكامل ستراتونوفيتش، وحساب التباين التربيعي الذي يميز التكامل العشوائي عن التكامل العادي.
Core questions
- كيف يتم بناء تكامل إيتو ولماذا يجب استخدام النقاط اليسرى؟
- ما هو تساوي قياس إيتو وكيف يتحكم في تباين التكامل؟
- ما هو الحد الإضافي الذي يميز صيغة إيتو عن قاعدة السلسلة العادية؟
- كيف يختلف تكامل إيتو عن تكامل ستراتونوفيتش؟
Key theories
- تكامل إيتو وتساوي قياس إيتو
- تعريف التكامل بتقييمات النقطة اليسرى يجعله مارتينجال، وتساوي قياس إيتو يربط مربع التكامل المتوقع بالتكامل المتوقع للمربع المُكامَل، مما يمنح التكامل هيكله واستقراره في L2.
- صيغة إيتو
- لدالة سلسة للانتشار، تعبر صيغة إيتو عن التفاضل كحد التدرج المعتاد بالإضافة إلى تصحيح يتضمن المشتقة الثانية والتباين التربيعي، وهي القاعدة التي تجعل حساب التفاضل والتكامل العشوائي قابلاً للحساب وتنتج معادلة بلاك-شولز.
Clinical relevance
حساب إيتو هو اللغة العملية للتمويل الرياضي، حيث تشتق صيغة إيتو معادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية واستراتيجيات التحوط، وفي التحكم العشوائي، والترشيح، والفيزياء، حيثما تُنمذج الأنظمة على أنها مدفوعة بضوضاء غاوسية بيضاء.
History
قدم إيتو التكامل العشوائي وصيغته لتغيير المتغيرات في أوراق بحثية عامي 1944 و1951 لبناء عمليات الانتشار، واقترح ستراتونوفيتش وفيسك لاحقًا تكاملاً بديلاً يتبع قاعدة السلسلة العادية، وتم التوفيق بين الصياغتين مع نضوج النظرية من خلال عمل ماكين، وماير، وآخرين.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- لماذا تحتوي صيغة إيتو على حد إضافي؟
- نظرًا لأن الحركة البراونية لها تباين تربيعي غير صفري، فإن الحد من الدرجة الثانية في توسيع تايلور لا يختفي في النهاية، مما يضيف تصحيحًا بنصف المشتقة الثانية غائبًا عن حساب التفاضل والتكامل العادي.
- ما الفرق بين تكامل إيتو وتكامل ستراتونوفيتش؟
- يقوم تكامل إيتو بتقييم المُكامَل عند النقطة اليسرى وهو مارتينجال، بينما يستخدم تكامل ستراتونوفيتش نقطة المنتصف ويتبع قاعدة السلسلة العادية؛ يختلفان بحد تصحيح ويناسبان تطبيقات مختلفة.