المارتينجالات والتكامل العشوائي
تُعد المارتينجالات ذات الزمن المستمر، بتقلباتها التربيعية وتحللها إلى أجزاء يمكن التنبؤ بها وأجزاء مارتينجالية، هي المكاملات التي تُبنى عليها التكاملات العشوائية.
Definition
في الزمن المستمر، المارتينجال هو عملية تتلاشى زياداتها المتوقعة الشرطية؛ يقيس تقلبها التربيعي التقلبات المتراكمة، ويقسم تحليل دوب-ماير المارتينجالات الفرعية إلى جزء متزايد يمكن التنبؤ به وجزء مارتينجالي، وتحدد هذه الهياكل التكامل العشوائي مقابل شبه المارتينجالات.
Scope
يغطي هذا الموضوع المارتينجالات ذات الزمن المستمر والمارتينجالات المحلية، وتحليل دوب-ماير للمارتينجالات الفرعية، والتقلب التربيعي وعملية الأقواس، وشبه المارتينجالات كأكبر فئة طبيعية من المكاملات، وبناء التكامل العشوائي مقابل المارتينجال، ونظرية تمثيل المارتينجال التي تعبر عن المارتينجالات البراونية كتكاملات عشوائية.
Core questions
- كيف تعمم المارتينجالات ذات الزمن المستمر والمارتينجالات المحلية الحالة المنفصلة؟
- ما هو التقلب التربيعي ولماذا هو أساسي للتكامل العشوائي؟
- كيف يحدد تحليل دوب-ماير الجزء المارتينجالي من العملية؟
- لماذا تُعد شبه المارتينجالات الفئة الطبيعية للمكاملات، وماذا يقدم تمثيل المارتينجال؟
Key theories
- تحليل دوب-ماير والتقلب التربيعي
- تتحلل المارتينجال الفرعية بشكل فريد إلى مارتينجال محلي بالإضافة إلى عملية متزايدة يمكن التنبؤ بها، والتقلب التربيعي للمارتينجال المحلي المستمر هو العملية التي يمكن التنبؤ بها والتي يجعل طرحها مربعها مارتينجالًا، مما يوفر مقياس التباين للتكاملات العشوائية.
- التكامل العشوائي وتمثيل المارتينجال
- التكامل العشوائي لعملية يمكن التنبؤ بها مقابل مارتينجال قابل للتكامل التربيعي هو بحد ذاته مارتينجال بتقلب تربيعي قابل للحساب، وتوضح نظرية تمثيل المارتينجال أن كل مارتينجال براوني هو تكامل من هذا النوع، وهو أساس التحوط في التمويل.
Clinical relevance
يُعد التكامل العشوائي القائم على المارتينجال الأساس الرياضي لتكامل إيتو والمعادلات التفاضلية العشوائية، ونظرية الترشيح، والتسعير والتحوط الخالي من المراجحة في التمويل الرياضي، حيث توفر نظرية تمثيل المارتينجال استراتيجيات تكرارية للأوراق المالية المشتقة.
History
افترض دوب التحليل الذي أثبته ماير في عام 1962، وطورت مدرسة ستراسبورغ بقيادة ماير النظرية العامة لشبه المارتينجالات والتكامل العشوائي في الستينيات والسبعينيات، ووحد عمل كونيتا وواتانابي على المارتينجالات القابلة للتكامل التربيعي التكامل مقابل مكاملات المارتينجال العامة.
Key figures
- Joseph Doob
- Paul-Andre Meyer
- Kiyosi Ito
- Hiroshi Kunita
Related topics
Seminal works
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- لماذا يتم التكامل مقابل المارتينجالات بدلاً من الدوال العادية؟
- مسارات المارتينجال غير منتظمة للغاية بحيث لا يمكن دمجها بالمعنى العادي، لكن تقلباتها المتحكم فيها، المقاسة بالتقلب التربيعي، تسمح بتكامل احتمالي هو بحد ذاته مارتينجال ويشكل أساس حساب التفاضل والتكامل العشوائي.
- ما هو التقلب التربيعي؟
- هو حد الزيادات المربعة المجمعة لعملية على تقسيمات أدق؛ بالنسبة لمسارات المارتينجال، يكون عادةً غير صفري ويعمل كساعة تباين طبيعية للتكامل العشوائي.