الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي
الحركة البراونية هي العملية العشوائية الكنسية المستمرة في الزمن، ويوفر حساب التفاضل والتكامل لإيتو المبني عليها القواعد اللازمة للتفاضل والتكامل على طول مساراتها المتعرجة وغير القابلة للتفاضل في أي مكان، وهي لغة النمذجة العشوائية الحديثة.
Definition
الحركة البراونية هي عملية ذات مسار مستمر مع زيادات غاوسية ثابتة مستقلة، وحساب التفاضل والتكامل العشوائي هو نظرية التكامل والتفاضل بالنسبة لها والمارتينجالات المستمرة ذات الصلة، وتتركز على تكامل إيتو وصيغة إيتو.
Scope
يغطي هذا المجال بناء وخصائص مسار الحركة البراونية، وتوصيفاتها المارتينجالية والماركوفية، وتكامل إيتو العشوائي مقابل الحركة البراونية والمارتينجالات المستمرة، وصيغة إيتو كقاعدة السلسلة لحساب التفاضل والتكامل العشوائي، والمعادلات التفاضلية العشوائية ونظرية وجودها وتفردها، والروابط بالمعادلات التفاضلية الجزئية من خلال صيغة فاينمان-كاك.
Sub-topics
Core questions
- كيف تُبنى الحركة البراونية، وما هي خصائص مسارها اللافتة للنظر؟
- كيف يمكن للمرء أن يكامل مقابل عملية تكون مساراتها ذات تباين غير محدود؟
- ما الذي يحل محل قاعدة السلسلة العادية عندما يكون المكامل هو الحركة البراونية؟
- كيف تُعرّف وتحل المعادلات التفاضلية العشوائية؟
Key theories
- تكامل إيتو وصيغة إيتو
- يعرّف تكامل إيتو التكامل مقابل الحركة البراونية باستخدام تباينها التربيعي، وصيغة إيتو هي قاعدة السلسلة الناتجة، والتي تحمل حدًا إضافيًا من الدرجة الثانية يعكس أن التباين التربيعي يتراكم خطيًا بمرور الوقت.
- المعادلات التفاضلية العشوائية وفاينمان-كاك
- للمعادلات التفاضلية العشوائية المدفوعة بالحركة البراونية حلول قوية فريدة في ظل شروط ليبشيتز والنمو، وتمثل صيغة فاينمان-كاك حلول المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة المرتبطة بها كتوقعات على هذه الانتشار.
Clinical relevance
حساب التفاضل والتكامل العشوائي هو الأساس الرياضي للتمويل المستمر في الزمن، حيث يقوم نموذج بلاك-شولز بتسعير الخيارات من خلال عملية إيتو، وهو منتشر في الفيزياء، حيث يصف الانتشار والضوضاء، والهندسة، حيث يكمن وراء الترشيح والتحكم العشوائي، وعلم الأحياء، حيث يصمم ديناميكيات السكان والعصبية تحت العشوائية.
History
لوحظت الحركة البراونية من قبل روبرت براون، وتمت نمذجتها فيزيائيًا بواسطة أينشتاين وسمولوتشوفسكي، وتم بناؤها بدقة بواسطة نوربرت وينر في عام 1923. أنشأ كيوسي إيتو التكامل العشوائي وصيغة إيتو في الأربعينيات من القرن الماضي، مؤسسًا بذلك حساب التفاضل والتكامل العشوائي، والذي أصبح لاحقًا لا غنى عنه في التمويل الرياضي.
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- لماذا لا يمكن استخدام حساب التفاضل والتكامل العادي مع الحركة البراونية؟
- مسارات براون مستمرة ولكنها غير قابلة للتفاضل في أي مكان ولها تباين لا نهائي، لذا فإن تكامل ريمان-ستيلتجز العادي وقاعدة السلسلة لا ينطبقان؛ يحل حساب التفاضل والتكامل لإيتو محلهما بإنشاءات تعتمد على التباين التربيعي المحدود للمسارات.
- ما هو الحد الإضافي في صيغة إيتو؟
- نظرًا لأن الزيادات المربعة للحركة البراونية تتراكم بمعدل محدد بدلاً من أن تتلاشى، فإن قاعدة السلسلة العشوائية تتضمن حدًا مشتقًا ثانيًا يتناسب مع الوقت المنقضي، والذي لا يوجد له نظير في حساب التفاضل والتكامل العادي.