عملية فينر
عملية فينر هي النموذج الرياضي الدقيق للحركة البراونية: عملية مستمرة تبدأ من الصفر وتكون زياداتها على فترات منفصلة مستقلة وموزعة طبيعيًا بتباين يساوي الوقت المنقضي.
Definition
عملية فينر هي عملية عشوائية ذات مسارات مستمرة تبدأ من نقطة الأصل، ولها زيادات مستقلة، وتكون الزيادة على أي فترة موزعة طبيعيًا بمتوسط صفر وتباين يساوي طول الفترة، مما يوفر النموذج الأساسي للحركة البراونية.
Scope
يغطي هذا الموضوع الخصائص المحددة لعملية فينر، ووجودها وبناء فينر لها، واستمرارية مساراتها وعدم قابليتها للاشتقاق في أي مكان، وتباينها التربيعي الذي يساوي الوقت المنقضي، وخاصية ماركوف القوية ومبدأ الانعكاس، وثباتها بالنسبة للتحجيم والانعكاس الزمني، وقانون اللوغاريتم المتكرر الذي يصف تقلباتها الدقيقة.
Core questions
- ما هي البديهيات التي تحدد عملية فينر وتضمن وجودها؟
- لماذا تكون مساراتها مستمرة ولكن غير قابلة للاشتقاق في أي مكان؟
- ما هو تباينها التربيعي ولماذا يساوي الوقت المنقضي؟
- كيف يصف مبدأ الانعكاس وخاصية ماركوف القوية سلوكها؟
Key theories
- خصائص المسار والتباين التربيعي
- مسارات عملية فينر مستمرة بشكل شبه مؤكد ولكنها غير قابلة للاشتقاق في أي مكان وذات تباين كلي لا نهائي، لكن تباينها التربيعي على أي فترة يساوي طول الفترة، وهي الخاصية التي تجعل التكامل العشوائي ممكنًا.
- خاصية ماركوف القوية ومبدأ الانعكاس
- تُعاد العملية من جديد عند أوقات التوقف، ويعطي انعكاس المسار بعد وصوله لأول مرة إلى مستوى معين توزيع الحد الأقصى الجاري وأوقات المرور الأول، وهي أداة قوية لحسابات أوقات الوصول.
Clinical relevance
تُنمذج عملية فينر الحركة الحرارية للجسيمات المجهرية، وتعمل كضوضاء دافعة في المعادلات التفاضلية العشوائية ونموذج بلاك-شولز لأسعار الأصول، وتظهر كحد للتحجيم للمشي العشوائي من خلال مبدأ عدم التغير لدونسكر، وتكمن وراء نماذج الإشارة بالإضافة إلى الضوضاء في الهندسة.
History
نمذج باشلييه أسعار الأسهم بهذه العملية في عام 1900 وقدم أينشتاين نظريتها الفيزيائية في عام 1905، ولكن فينر هو من أثبت في عام 1923 وجود مقياس احتمالي بالخصائص المطلوبة على فضاء الدوال المستمرة، وبعد ذلك قام ليفي وآخرون بتحديد خصائص مسارها الرائعة.
Key figures
- Norbert Wiener
- Albert Einstein
- Louis Bachelier
- Paul Levy
Related topics
Seminal works
- morters2010
Frequently asked questions
- هل عملية فينر هي نفسها الحركة البراونية؟
- نعم؛ عملية فينر هي التعريف الرياضي الدقيق للحركة البراونية، وقد سميت على اسم نوربرت فينر الذي قام ببنائها لأول مرة كمقياس على المسارات المستمرة.
- كيف يمكن أن يكون المسار مستمرًا ولكنه غير قابل للاشتقاق في أي مكان؟
- المسار لا يقفز أبدًا، لذا فهو مستمر، ومع ذلك يتذبذب بعنف شديد عند كل مقياس بحيث لا يوجد اتجاه مماس عند أي نقطة، وهذا هو السبب في أن تباينه الكلي لا نهائي.