الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي
الحركة البراونية هي العملية العشوائية المستمرة التي تكون زياداتها مستقلة وغوسية؛ ويوفر حساب التفاضل والتكامل العشوائي المبني عليها القواعد اللازمة للتكامل والتفاضل على طول مساراتها المتعرجة.
Definition
الحركة البراونية هي عملية زمنية مستمرة ذات زيادات غوسية ثابتة مستقلة ومسارات مستمرة غير قابلة للتفاضل في أي مكان، وحساب التفاضل والتكامل العشوائي هو نظرية التكامل والتفاضل فيما يتعلق بهذه العمليات، وتتركز على تكامل إيتو وصيغة إيتو لتغيير المتغيرات.
Scope
يغطي هذا المجال عملية فينر وخصائص مسارها، وتكامل إيتو العشوائي وصيغة إيتو، والمعادلات التفاضلية العشوائية وعمليات الانتشار، والصلة بالمعادلات التفاضلية الجزئية من خلال معادلة فاينمان-كاك وفولكر-بلانك، وتغيير مقياس جيرسانوف، والتوسع ليشمل عمليات ليفي مع القفزات.
Sub-topics
Core questions
- ما هي الخصائص التي تميز الحركة البراونية وتجعل مساراتها غير منتظمة إلى هذا الحد؟
- كيف يتم تعريف التكامل مقابل الحركة البراونية على الرغم من تباينها اللانهائي؟
- ما هي صيغة إيتو وكيف تحل محل قاعدة السلسلة العادية؟
- كيف توسع المعادلات التفاضلية العشوائية وعمليات ليفي الإطار؟
Key theories
- تكامل إيتو وصيغة إيتو
- يعرف تكامل إيتو التكامل مقابل الحركة البراونية من خلال استغلال خاصية المارتينجال والتباين التربيعي الذي يساوي الوقت المنقضي، وتعطي صيغة إيتو قاعدة لتغيير المتغيرات مع حد إضافي للمشتقة الثانية يعكس هذا التباين.
- الانتشارات والصلة بالمعادلات التفاضلية الجزئية
- حلول المعادلات التفاضلية العشوائية هي انتشار ماركوف الذي تحل كثافات انتقاله معادلات فولكر-بلانك وكولموغوروف الخلفية، وتمثل صيغة فاينمان-كاك حلول المعادلات المكافئة كتوقعات على مسارات الانتشار.
Clinical relevance
تُستخدم الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي لنمذجة انتشار الجسيمات والحرارة، والتقلب العشوائي لأسعار الأصول في نظرية بلاك-شولز لتسعير الخيارات، والضوضاء في الأنظمة الفيزيائية والهندسية، وتصفية الإشارات الصاخبة، مما يجعلها لا غنى عنها في الفيزياء والمالية والتحكم.
History
لاحظ براون الحركة المتعرجة لحبوب اللقاح في عام 1827، وقدم أينشتاين وسمولوتشوفسكي نظريتها الفيزيائية حوالي عام 1905، وكان باشيلير قد استخدمها بالفعل في المالية عام 1900، وقام فينر ببنائها بدقة في عام 1923، وأنشأ إيتو حساب التفاضل والتكامل العشوائي في الأربعينيات من القرن الماضي الذي حولها إلى أداة حسابية.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- لماذا لا يمكن استخدام حساب التفاضل والتكامل العادي للحركة البراونية؟
- مسارات براون لها تباين كلي لا نهائي وهي غير قابلة للتفاضل في أي مكان، لذا فإن التكاملات العادية وقاعدة السلسلة الكلاسيكية تفشل؛ ويوفر حساب التفاضل والتكامل العشوائي لإيتو بدائل تأخذ في الاعتبار التباين التربيعي.
- ما هي صيغة إيتو؟
- إنها النظير العشوائي لقاعدة السلسلة للدوال الخاصة بالحركة البراونية أو الانتشار، وتتضمن حدًا إضافيًا يتضمن المشتقة الثانية ينشأ من التباين التربيعي غير الصفري للمسارات.